32  Medidas de correlación

1 El problema: ¿avanzan juntas dos características?

Cinco estudiantes registraron cuántas horas practicaron antes de una sesión y cuántos retos lograron resolver durante ella:

Estudiante	Horas de práctica \(X\)	Retos resueltos \(Y\)
A	1	2
B	2	1
C	3	4
D	4	3
E	5	5

Al leer la tabla aparece una tendencia: quienes practicaron más horas suelen resolver más retos, aunque el orden no sea perfecto. ¿Cómo convertir esa impresión en un número sin perder de vista la gráfica?

Una asociación describe cómo cambia una variable cuando cambia otra. Una correlación resume la dirección y la intensidad de un tipo específico de asociación mediante un número estandarizado:¹

¹ Estandarizar una medida significa expresarla sin las unidades originales mediante una escala común. Esto facilita comparaciones, pero no elimina valores extremos ni vuelve lineal una relación.

• Pearson pregunta qué tan bien se organiza la nube alrededor de una recta;
• Spearman pregunta qué tan semejante es el orden de ambas variables;
• Kendall pregunta qué proporción de pares conserva el mismo orden.

Estos coeficientes no son tres versiones intercambiables de “qué tan relacionadas están” las variables. Cada uno conserva información distinta.

Una correlación aislada puede ocultar curvatura, grupos, valores extremos o errores. Debe acompañarse siempre de una gráfica: el cuarteto de Anscombe muestra conjuntos con resúmenes casi idénticos y geometrías radicalmente distintas (Anscombe 1973).

2 Antes de calcular: mirar los pares

Las observaciones vienen emparejadas. La primera hora y el primer número de retos pertenecen al estudiante A; no se deben ordenar \(X\) y \(Y\) por separado antes de dibujarlas. El diagrama de dispersión conserva cada pareja \((x_i,y_i)\).²

² Un diagrama de dispersión representa cada unidad como un punto \((x_i,y_i)\). La posición horizontal corresponde a una variable y la vertical a la otra; por eso preserva emparejamiento, forma y observaciones inusuales.

En el ejemplo, al movernos de izquierda a derecha predominan los ascensos. Hay dos retrocesos locales —A frente a B y C frente a D—, pero la dirección general es positiva.

NotaTres brújulas intuitivas

1. Si los puntos quedan exactamente sobre una recta creciente, los tres coeficientes deberían indicar asociación positiva perfecta.
2. Si \(Y\) crece siempre con \(X\), pero siguiendo una curva, los órdenes pueden concordar perfectamente aunque una recta no describa bien las distancias.
3. Si \(Y\) primero baja y después sube, una relación visible puede producir correlación cercana a cero porque los dos sentidos se compensan.

3 Covarianza: dirección con unidades

3.1 Paso 1: Intuición con un ejemplo

Retomemos a los cinco estudiantes del ejemplo inicial. Para responder si las horas de práctica y los retos resueltos “avanzan juntos”, necesitamos un punto de referencia objetivo para cada variable. El promedio o media muestral \((\bar{x}, \bar{y})\) cumple ese papel: representa el centro de gravedad de la distribución.

Si calculamos la media de ambas variables:

\[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 \text{ horas}, \qquad \bar{y} = \frac{2 + 1 + 4 + 3 + 5}{5} = 3 \text{ retos}. \]

Ahora podemos medir cómo se desvía cada estudiante de ese centro mediante las diferencias \((x_i - \bar{x})\) y \((y_i - \bar{y})\). ¿Qué ocurre si multiplicamos esas dos desviaciones para cada estudiante?

• Mismo sentido (+): Si un estudiante practicó más horas que el promedio (\(x_i - \bar{x} > 0\)) y además resolvió más retos que el promedio (\(y_i - \bar{y} > 0\)), el producto es \((+) \times (+) = +\). Del mismo modo, si practicó menos que el promedio (\(-\)) y resolvió menos retos (\(-\)), el producto es \((-) \times (-) = +\). En ambos casos, el producto es positivo porque ambas características se desviaron hacia el mismo lado de su respectiva media.
• Sentidos opuestos (−): Si un estudiante practicó más que el promedio (\(+\)) pero resolvió menos retos que el promedio (\(-\)), el producto es \((+) \times (-) = -\). De igual forma, si practicó menos (\(-\)) pero resolvió más retos (\(+\)), el producto es \((-) \times (+) = -\). Un producto negativo revela desacuerdo entre las desviaciones.

La suma de estos productos cruzados captura el balance neto de acuerdos y desacuerdos en la muestra.

3.2 Paso 2: Cálculo a mano paso a paso

Construyamos la tabla aritmética completa para los cinco estudiantes, detallando cada desviación, su producto cruzado y sus cuadrados:

Estudiante	\(x_i\)	\(y_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\(y_i - \bar{y}\)	Producto cruzado \((x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\)	\((x_i-\bar{x})^2\)	\((y_i-\bar{y})^2\)
A	1	2	\(1 - 3 = -2\)	\(2 - 3 = -1\)	\((-2) \times (-1) = \mathbf{+2}\)	\((-2)^2 = 4\)	\((-1)^2 = 1\)
B	2	1	\(2 - 3 = -1\)	\(1 - 3 = -2\)	\((-1) \times (-2) = \mathbf{+2}\)	\((-1)^2 = 1\)	\((-2)^2 = 4\)
C	3	4	\(3 - 3 = 0\)	\(4 - 3 = +1\)	\((0) \times (+1) = \mathbf{0}\)	\(0^2 = 0\)	\((+1)^2 = 1\)
D	4	3	\(4 - 3 = +1\)	\(3 - 3 = 0\)	\((+1) \times (0) = \mathbf{0}\)	\((+1)^2 = 1\)	\(0^2 = 0\)
E	5	5	\(5 - 3 = +2\)	\(5 - 3 = +2\)	\((+2) \times (+2) = \mathbf{+4}\)	\((+2)^2 = 4\)	\((+2)^2 = 4\)
Suma			0	0	8	10	10

Observemos tres detalles del cálculo manual:

1. Las sumas de las desviaciones individuales son exactamente cero: \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\) y \(\sum (y_i - \bar{y}) = 0\). Esta es una propiedad algebraica de la media aritmética.
2. La suma de los productos cruzados es \(2 + 2 + 0 + 0 + 4 = 8\).
3. Para obtener un promedio no sesgado de la covarianza poblacional a partir de la muestra, dividimos entre los grados de libertad \(n - 1 = 5 - 1 = 4\) (corrección de Bessel³), en lugar de dividir entre \(n\):

³ La corrección de Bessel consiste en usar el divisor \(n-1\) (en lugar de \(n\)) al estimar la varianza o covarianza a partir de una muestra. Como las desviaciones se calculan respecto a la media muestral \(\bar{x}\) (que minimiza la suma de cuadrados en esa muestra específica) y no respecto a la verdadera media poblacional desconocida \(\mu\), dividir entre \(n\) subestima sistemáticamente la dispersión. El factor \(\frac{n}{n-1}\) compensa ese grado de libertad perdido y produce un estimador insesgado (Freedman et al. 2007).

\[ s_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} = \frac{8}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2.0 \quad \text{horas} \cdot \text{retos}. \]

El signo positivo confirma que las variables tienden a variar en la misma dirección. Sin embargo, surge un inconveniente: las unidades del resultado son híbridas (\(\text{horas} \cdot \text{retos}\)). Si en lugar de horas hubiéramos medido el tiempo en minutos (\(X' = 60X\)), cada desviación horizontal se multiplicaría por 60, la suma de productos pasaría de 8 a 480, y la covarianza sería \(s_{X'Y} = 480 / 4 = 120 \text{ min} \cdot \text{retos}\). La relación entre los estudiantes es idéntica, pero el número se multiplicó por 60. Por eso la covarianza por sí sola no permite juzgar la fuerza de la asociación.

3.3 Paso 3: Formalización matemática

La covarianza muestral entre dos variables numéricas \(X\) y \(Y\) con \(n\) pares de observaciones se define formalmente como:

\[ s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y). \tag{1} \]

Satisface las siguientes propiedades fundamentales:

• Simetría: \(s_{XY} = s_{YX}\). El orden de las variables no altera el resultado.
• Autocovarianza: Cuando se calcula la covarianza de una variable consigo misma, se recupera su varianza muestral: \(s_{XX} = s_X^2\).
• Bilinealidad: Si transformamos linealmente las variables mediante \(U = aX + b\) y \(V = cY + d\) (con \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\)), entonces: \[s_{UV} = ac \cdot s_{XY}.\] Las constantes sumadas (\(b\) y \(d\)) se cancelan al centrar respecto a la media, pero los factores de escala (\(a\) y \(c\)) multiplican directamente la covarianza.

3.4 Paso 4: De la intuición geométrica al laboratorio

Existen dos maneras complementarias de visualizar geométricamente la covarianza:

1. En el plano cartesiano de los datos \((x, y)\) (sumar áreas de rectángulos): Cada observación \((x_i, y_i)\) forma con el centroide \((\bar{x}, \bar{y})\) un rectángulo cuya base mide \((x_i - \bar{x})\) y cuya altura mide \((y_i - \bar{y})\). El producto \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) es el área con signo de ese rectángulo:
   • Áreas positivas: Cuadrante I (arriba a la derecha) y Cuadrante III (abajo a la izquierda) respecto al centroide.
   • Áreas negativas: Cuadrante II (arriba a la izquierda) y Cuadrante IV (abajo a la derecha). La covarianza muestral es el balance neto de esas áreas dividido entre \(n-1\).
2. En el espacio de observaciones \(\mathbb{R}^n\) (producto escalar de vectores centrados): Si agrupamos las desviaciones de toda la muestra en dos vectores de \(\mathbb{R}^5\): \[\widetilde{\mathbf x} = (x_1 - \bar{x}, \ldots, x_5 - \bar{x}), \qquad \widetilde{\mathbf y} = (y_1 - \bar{y}, \ldots, y_5 - \bar{y}),\] ambos vectores viven en un hiperplano de dimensión \(n-1\) porque sus coordenadas suman cero. La suma de las áreas rectangulares es exactamente el producto escalar (producto punto) de ambos vectores: \[\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \widetilde{\mathbf x} \cdot \widetilde{\mathbf y}, \qquad s_{XY} = \frac{\widetilde{\mathbf x} \cdot \widetilde{\mathbf y}}{n-1}. \tag{2}\]

Magnitud estadística	Equivalente geométrico en \(\mathbb{R}^n\)
Varianza muestral de \(X\)	\(s_X^2 = \lVert\widetilde{\mathbf x}\rVert^2 / (n-1)\)
Desviación estándar de \(X\)	\(s_X = \lVert\widetilde{\mathbf x}\rVert / \sqrt{n-1}\)
Covarianza muestral entre \(X\) y \(Y\)	\(s_{XY} = (\widetilde{\mathbf x} \cdot \widetilde{\mathbf y}) / (n-1)\)

En el siguiente laboratorio interactivo puede explorar esta geometría: arrastre los puntos libremente o use los botones de preajuste para observar cómo los rectángulos cambian de signo y tamaño, cómo el centroide dinámico se desplaza y cómo la barra de balance visualiza la suma de áreas positivas frente a las negativas.

Geometría de la covarianza: rectángulos con signo y centroide móvil

Arrastre los puntos en la gráfica o use los controles verticales. Cada punto $(x_i, y_i)$ forma un rectángulo con el centroide $(\bar{x}, \bar{y})$: verde si suma (cuadrantes I y III), rojo si resta (II y IV). La covarianza es el área neta dividida por $n-1 = 4$.

Observaciones incorporadas (acumulación paso a paso)

5 de 5

Área negativa:

0.0

Área positiva:

0.0

Cuadrantes II y IV (−) Saldo neto:

+8.0

Cuadrantes I y III (+)

Centroide (x̄, ȳ)(3.0, 3.0)

Producto interno x̃ · ỹ+8.000

Covarianza muestral s_XY+2.000

Orientación dominantePositiva

Área positiva (Δx·Δy > 0) Área negativa (Δx·Δy < 0) Centroide (x̄, ȳ)

4 Pearson: estandarizar la asociación lineal

4.1 Paso 1: Intuición con un ejemplo

En la sección anterior vimos que la covarianza entre horas de práctica y retos resueltos fue \(s_{XY} = 2.0 \text{ horas}\cdot\text{retos}\), pero al expresar el tiempo en minutos el valor se disparó a \(120\). ¿Cómo comparar la fuerza de una asociación entre variables con unidades totalmente distintas (como horas frente a retos, o ingresos frente a edad)?

La solución intuitiva consiste en eliminar las unidades dividiendo cada variable por su propia escala típica de dispersión: su desviación estándar muestral (\(s_X\) y \(s_Y\)).

Al hacer esto, cada observación \((x_i, y_i)\) se transforma en un par de puntuaciones estandarizadas o puntuaciones \(z\):⁴

⁴ La puntuación \(z\) (o estandarización) transforma una variable restando su media y dividiendo por su desviación estándar: \(z = (x - \bar{x})/s\). Expresa cada observación en unidades de “cuántas desviaciones estándar dista de la media”, teniendo siempre media 0 y desviación estándar 1, lo que permite comparar variables con escalas o unidades físicas completamente dispares.

\[ z_{X,i} = \frac{x_i - \bar{x}}{s_X}, \qquad z_{Y,i} = \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y}. \]

La puntuación \(z_{X,i}\) responde a una pregunta puramente adimensional: ¿a cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media se encuentra este estudiante? Al multiplicar \(z_{X,i} \times z_{Y,i}\), las unidades originales se cancelan en el numerador y el denominador. El resultado es una medida pura de co-movimiento que no depende del sistema de medida.

4.2 Paso 2: Cálculo a mano paso a paso

Podemos calcular el coeficiente de Pearson a mano de dos formas equivalentes:

Método A: Mediante las desviaciones estándar y la covarianza.

A partir de las sumas de cuadrados calculadas en la tabla de covarianza:

\[ \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 10 \implies s_X^2 = \frac{10}{5-1} = 2.5 \implies s_X = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \text{ horas}, \]

\[ \sum_{i=1}^5 (y_i - \bar{y})^2 = 10 \implies s_Y^2 = \frac{10}{5-1} = 2.5 \implies s_Y = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \text{ retos}. \]

Sustituyendo en la definición de Pearson:

\[ r = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} = \frac{2.0}{\sqrt{2.5} \times \sqrt{2.5}} = \frac{2.0}{2.5} = 0.8. \tag{3} \]

Como el divisor \(n-1\) aparece tanto en el numerador (\(s_{XY}\)) como dentro de cada desviación estándar del denominador, se cancela algebraicamente:

\[ r = \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2 \sum (y_i-\bar y)^2}} = \frac{8}{\sqrt{10 \times 10}} = \frac{8}{10} = 0.8. \tag{4} \]

Método B: Mediante puntuaciones estandarizadas \(z\).

Construyamos la tabla de puntuaciones \(z\) para cada estudiante:

Estudiante	\(x_i\)	\(y_i\)	\(z_{X,i} = \frac{x_i - 3}{\sqrt{2.5}}\)	\(z_{Y,i} = \frac{y_i - 3}{\sqrt{2.5}}\)	Producto \(z_{X,i} \cdot z_{Y,i}\)
A	1	2	\(\frac{-2}{\sqrt{2.5}} \approx -1.265\)	\(\frac{-1}{\sqrt{2.5}} \approx -0.632\)	\(\frac{(-2)(-1)}{2.5} = \mathbf{+0.8}\)
B	2	1	\(\frac{-1}{\sqrt{2.5}} \approx -0.632\)	\(\frac{-2}{\sqrt{2.5}} \approx -1.265\)	\(\frac{(-1)(-2)}{2.5} = \mathbf{+0.8}\)
C	3	4	\(\frac{0}{\sqrt{2.5}} = 0.000\)	\(\frac{+1}{\sqrt{2.5}} \approx +0.632\)	\(\frac{(0)(1)}{2.5} = \mathbf{0.0}\)
D	4	3	\(\frac{+1}{\sqrt{2.5}} \approx +0.632\)	\(\frac{0}{\sqrt{2.5}} = 0.000\)	\(\frac{(1)(0)}{2.5} = \mathbf{0.0}\)
E	5	5	\(\frac{+2}{\sqrt{2.5}} \approx +1.265\)	\(\frac{+2}{\sqrt{2.5}} \approx +1.265\)	\(\frac{(+2)(+2)}{2.5} = \mathbf{+1.6}\)
Suma			0.000	0.000	3.2

Promediando la suma de productos estandarizados con los grados de libertad \(n-1 = 4\):

\[ r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n z_{X,i} z_{Y,i} = \frac{3.2}{4} = 0.8. \]

Ambos procedimientos coinciden exactamente en \(r = 0.8\).

4.3 Paso 3: Formalización matemática

El coeficiente de correlación producto-momento de Pearson muestral (Pearson 1895) se define formalmente como:

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}. \tag{5} \]

Posee propiedades matemáticas rigurosas:

• Acotamiento estricto: Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz,⁵ \[-1 \le r \le 1.\] El valor \(r = +1\) indica una relación lineal creciente perfecta; \(r = -1\) indica una relación lineal decreciente perfecta. Si alguna variable es constante, su desviación estándar es cero y \(r\) queda indeterminado.
• Invarianza afín: Si transformamos las variables según \(U = a + bX\) y \(V = c + dY\) con \(b, d \ne 0\), se cumple: \[r_{UV} = \operatorname{sign}(bd) \cdot r_{XY}.\] Sumar constantes o multiplicar por factores positivos no altera \(r\). Si se multiplica por una constante negativa, solo se invierte el signo del coeficiente.

⁵ La desigualdad de Cauchy–Schwarz establece que el valor absoluto del producto interno de dos vectores no supera el producto de sus longitudes: \(|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \le \lVert\mathbf{u}\rVert \lVert\mathbf{v}\rVert\). Aplicada a los vectores de desviaciones centradas en \(\mathbb{R}^n\), garantiza que el coeficiente de Pearson esté rigurosamente acotado en \([-1, 1]\).

4.4 Paso 4: De la intuición geométrica al laboratorio

Pearson admite dos interpretaciones geométricas simultáneas:

1. En el espacio de observaciones \(\mathbb{R}^n\) (conservar solo el ángulo): Los vectores centrados \(\widetilde{\mathbf x}, \widetilde{\mathbf y} \in \mathbb{R}^5\) viven en el hiperplano \(\sum z_i = 0\). La definición de Pearson equivale exactamente al coseno del ángulo \(\theta\) entre ellos: \[r = \frac{\widetilde{\mathbf x}\cdot\widetilde{\mathbf y}}{\lVert\widetilde{\mathbf x}\rVert\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert} = \cos\theta. \tag{6}\] La covarianza mezcla la escala de los vectores con su orientación; Pearson divide las longitudes y conserva únicamente la orientación.

   Descomposición ortogonal y Teorema de Pitágoras: Podemos descomponer el vector \(\widetilde{\mathbf y}\) en una componente paralela a \(\widetilde{\mathbf x}\) (la proyección \(\widehat{\mathbf y}\)) y un residuo perpendicular \(\mathbf{e}\) (\(\mathbf{e} \perp \widetilde{\mathbf x}\)): \[\widetilde{\mathbf y} = \widehat{\mathbf y} + \mathbf{e}, \qquad \text{con } \widehat{\mathbf y} = r \frac{\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert}{\lVert\widetilde{\mathbf x}\rVert} \widetilde{\mathbf x}.\] Por el Teorema de Pitágoras en \(\mathbb{R}^n\), las normas al cuadrado se suman: \[\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert^2 = \lVert\widehat{\mathbf y}\rVert^2 + \lVert\mathbf{e}\rVert^2.\] Al normalizar dividiendo entre \(\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert^2\), surge la identidad fundamental: \[1 = r^2 + \frac{\lVert\mathbf{e}\rVert^2}{\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert^2} = r^2 + e^2.\] El término \(r^2\) es el coeficiente de determinación \(R^2\):⁶ representa la fracción de la variabilidad de \(\widetilde{\mathbf y}\) capturada por la dirección de \(\widetilde{\mathbf x}\). El término restante \(e^2 = 1 - r^2\) es la varianza residual no explicada.

2. En el espacio de datos estandarizados \((z_X, z_Y)\): En este espacio, el centroide está en \((0,0)\) y ambas variables tienen varianza 1. La recta de regresión de mínimos cuadrados pasa por el origen con pendiente idéntica a \(r\) (\(\hat{z}_Y = r z_X\)). La elipse de covarianza (de nivel \(1\sigma\)) encierra la masa de los datos:

   • Cuando \(r = 0\), la elipse es un círculo perfecto (ejes iguales).
   • A medida que \(|r| \to 1\), el semieje menor de la elipse colapsa a cero y la elipse degenera en un segmento de recta sobre la diagonal.

⁶ El coeficiente de determinación \(R^2 = r^2\) representa la proporción de la varianza total de una variable que queda explicada linealmente por la otra. Geométricamente, corresponde a la razón entre la norma al cuadrado de la proyección ortogonal y la norma al cuadrado del vector original en \(\mathbb{R}^n\): \(\lVert\widehat{\mathbf{y}}\rVert^2 / \lVert\widetilde{\mathbf{y}}\rVert^2\).

En el siguiente laboratorio interactivo puede experimentar con ambas representaciones en paralelo: modifique el ángulo \(\theta\) o la norma \(\lVert\widetilde{\mathbf y}\rVert\) para comprobar que la escala altera la covarianza pero deja intacto a \(r\), y observe cómo el triángulo rectángulo pitagórico (\(1 = r^2 + e^2\)) y la elipse de covarianza reaccionan en tiempo real.

Geometría de Pearson: ángulo en ℝⁿ y espacio de datos estandarizados

Pearson $r = \cos \theta$ conserva únicamente la dirección entre los vectores centrados en $\mathbb{R}^n$, eliminando las unidades. A la izquierda, la descomposición ortogonal $\tilde{\mathbf{y}} = \hat{\mathbf{y}} + \mathbf{e}$ revela el teorema de Pitágoras ($1 = r^2 + e^2$); a la derecha, la elipse de covarianza en coordenadas estandarizadas $(z_X, z_Y)$ muestra cómo la nube colapsa a la recta cuando $|r| \to 1$.

Ángulo entre vectores centrados θ

36.9°

Longitud ||ỹ|| (desviación de Y)

3.16

Pearson r = cos θ+0.800

Varianza explicada R²64.0%

Proyección ||ŷ||2.53

Residuo ||e||1.90

Producto x̃ · ỹ+8.00

Covarianza s_XY+2.00

1. Espacio vectorial: plano generado por (x̃, ỹ)

2. Espacio estandarizado: recta z_Y = r·z_X y elipse

Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz,⁷ \(-1\le r\le1\). Los extremos \(r=1\) y \(r=-1\) aparecen cuando todos los puntos están exactamente sobre una recta con pendiente positiva o negativa, respectivamente. Si alguna variable es constante, su desviación estándar es cero y \(r\) no está definido.

⁷ La desigualdad de Cauchy–Schwarz establece que el valor absoluto del producto interno de dos vectores no supera el producto de sus longitudes: \(|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \le \lVert\mathbf{u}\rVert \lVert\mathbf{v}\rVert\). Aplicada a los vectores de desviaciones centradas en \(\mathbb{R}^n\), garantiza que el coeficiente de Pearson esté rigurosamente acotado en \([-1, 1]\).

ImportanteQué significa y qué no significa \(r=0.8\)

En estos cinco datos hay una asociación lineal positiva apreciable. El número no significa que “80% de \(Y\) sea causado por \(X\)”, ni que cada hora adicional produzca 0.8 retos. Tampoco autoriza una etiqueta universal como “fuerte” sin considerar el campo, el tamaño muestral, la incertidumbre y la gráfica.

Sumar una constante a cualquiera de las variables o cambiar sus unidades por un factor positivo no altera \(r\). Multiplicar una de ellas por un factor negativo refleja el eje y cambia únicamente el signo.

5 Spearman: comparar órdenes

5.1 Paso 1: Intuición con un ejemplo

¿Qué ocurre si dos variables crecen siempre juntas, pero la relación no es una línea recta? Imaginemos que el rendimiento creciera de forma exponencial con las horas de práctica: \(X = (1, 2, 3, 4, 5)\) y \(Y = (2, 4, 8, 16, 32)\).

En ese caso, cada hora adicional produce todavía más retos resueltos que la anterior. La relación es monótona creciente:⁸ siempre que \(X\) aumenta, \(Y\) también aumenta, sin una sola excepción. Sin embargo, si calculamos Pearson sobre esos datos, obtendremos \(r < 1\) porque los puntos forman una curva y Pearson penaliza las distancias no alineadas a una recta.

⁸ Una relación es monótona creciente si \(Y\) nunca disminuye cuando \(X\) aumenta; es monótona decreciente si nunca aumenta. Puede ser curva y seguir conservando el orden de manera perfecta.

Si la pregunta sustantiva no es si los puntos se acomodan sobre una recta, sino únicamente si al aumentar una variable, la otra también aumenta, penalizar la curvatura distorsiona la conclusión.

La idea de Charles Spearman (Spearman 1904) consiste en ignorar las distancias métricas originales y conservar únicamente las posiciones relativas u órdenes: reemplazamos cada dato por su rango (\(1^\circ, 2^\circ, \dots, n^\circ\)).⁹

⁹ El rango de una observación es su posición ordinal al clasificar los valores de menor a mayor (\(1^\circ, 2^\circ, \ldots, n^\circ\)). Con empates se asigna a todos los valores empatados el promedio de las posiciones que habrían ocupado.

5.2 Paso 2: Cálculo a mano paso a paso

Retomemos los cinco estudiantes originales:

• Horas de práctica: \(X = (1, 2, 3, 4, 5)\). Como ya están en orden creciente, sus rangos son directamente: \[R_X = (1, 2, 3, 4, 5).\]
• Retos resueltos: \(Y = (2, 1, 4, 3, 5)\). Ordenemos los retos de menor a mayor: el menor es 1 (estudiante B \(\to\) rango 1), luego 2 (estudiante A \(\to\) rango 2), luego 3 (estudiante D \(\to\) rango 3), luego 4 (estudiante C \(\to\) rango 4) y el mayor es 5 (estudiante E \(\to\) rango 5). Por tanto: \[R_Y = (2, 1, 4, 3, 5).\]

Construyamos la tabla de diferencias entre rangos \(d_i = R_{X,i} - R_{Y,i}\):

Estudiante	\(x_i\)	\(y_i\)	Rango \(R_{X,i}\)	Rango \(R_{Y,i}\)	Diferencia \(d_i = R_{X,i} - R_{Y,i}\)	Cuadrado \(d_i^2\)
A	1	2	1	2	\(1 - 2 = -1\)	\((-1)^2 = \mathbf{1}\)
B	2	1	2	1	\(2 - 1 = +1\)	\((+1)^2 = \mathbf{1}\)
C	3	4	3	4	\(3 - 4 = -1\)	\((-1)^2 = \mathbf{1}\)
D	4	3	4	3	\(4 - 3 = +1\)	\((+1)^2 = \mathbf{1}\)
E	5	5	5	5	\(5 - 5 = 0\)	\(0^2 = \mathbf{0}\)
Suma					0	4

Observemos dos detalles del cálculo manual:

1. La suma de las diferencias es siempre cero: \(\sum d_i = (-1) + 1 + (-1) + 1 + 0 = 0\).
2. La suma de las diferencias al cuadrado es \(\sum d_i^2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4\).

Cuando no hay empates, podemos usar la fórmula abreviada de Spearman:

\[ \rho_s = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 - 1)}. \tag{7} \]

Sustituyendo \(n = 5\) y \(\sum d_i^2 = 4\):

\[ \rho_s = 1 - \frac{6(4)}{5(5^2 - 1)} = 1 - \frac{24}{5(24)} = 1 - \frac{24}{120} = 1 - 0.2 = 0.8. \]

¿Qué ocurre si hay empates? Si dos o más observaciones comparten el mismo valor en una variable, se les asigna el rango promedio de las posiciones que habrían ocupado. Por ejemplo, si dos estudiantes empatan en el segundo y tercer puesto, ambos reciben el rango \(\frac{2 + 3}{2} = 2.5\). En ese caso, la varianza de los rangos disminuye y la fórmula abreviada (Ec. 7) deja de ser exacta; debe aplicarse la correlación de Pearson habitual directamente sobre las columnas de rangos promedio.

5.3 Paso 3: Formalización matemática

El coeficiente de correlación de Spearman \(\rho_s\) se define formalmente como el coeficiente de correlación de Pearson aplicado a los vectores de rangos:

\[ \rho_s = \operatorname{corr}(R_X, R_Y). \tag{8} \]

Deducción de la fórmula abreviada. Sin empates, tanto \(R_X\) como \(R_Y\) son permutaciones del conjunto de enteros \(\{1, 2, \ldots, n\}\). La media de cualquier permutación es fija: \(\bar{R} = \frac{n+1}{2}\), y la suma de cuadrados respecto a la media es una constante universal: \[ \sum_{i=1}^n (R_i - \bar{R})^2 = \frac{n(n^2 - 1)}{12}. \] Desarrollando la suma de diferencias al cuadrado: \[ \sum d_i^2 = \sum (R_{X,i} - R_{Y,i})^2 = \sum (R_{X,i} - \bar{R})^2 + \sum (R_{Y,i} - \bar{R})^2 - 2\sum (R_{X,i} - \bar{R})(R_{Y,i} - \bar{R}). \] Al sustituir las sumas de cuadrados constantes y despejar el término de covarianza, se obtiene directamente la constante 6 y el denominador \(n(n^2 - 1)\).

• Invarianza monótona: \(\rho_s\) es invariante ante cualquier transformación estrictamente creciente \(g(X)\) y \(h(Y)\) (por ejemplo, logaritmos o potencias impares), ya que \(R_{g(X)} = R_X\).
• Límites: \(-1 \le \rho_s \le 1\). Vale \(+1\) cuando el orden de ambas variables coincide perfectamente, y \(-1\) cuando una está en orden exactamente inverso al de la otra.

5.4 Paso 4: De la intuición geométrica al laboratorio

Spearman combina dos perspectivas geométricas fundamentales:

1. En la cuadrícula de rangos \(\{1,\dots,n\}^2\) (sumar cuadrados geométricos): Los pares de rangos \((R_{X,i}, R_{Y,i})\) habitan una cuadrícula rígida de enteros. La recta diagonal \(R_Y = R_X\) representa el orden perfecto. Cada término \(d_i^2 = (R_{X,i} - R_{Y,i})^2\) es literalmente el área de un cuadrado geométrico de lado \(|d_i|\) trazado entre el punto y la diagonal. Cuanto menor sea el área total acumulada por estos cuadrados, mayor será \(\rho_s\).
2. En el espacio de permutaciones sobre una esfera \(\mathbb{R}^n\) (el permutoedro¹⁰ y la Ley de Cosenos): Al centrar los rangos restando \(\bar{R} = 3\), todos los vectores de rangos sin empates tienen exactamente la misma longitud fija: \[\lVert\widetilde{\mathbf R}\rVert = R_0 = \sqrt{\frac{n(n^2-1)}{12}} = \sqrt{\frac{5(24)}{12}} = \sqrt{10} \approx 3.162.\] Las \(5! = 120\) permutaciones posibles son los vértices de un polítopo convexo (el permutoedro) que descansan exactamente sobre una hiperesfera de radio \(\sqrt{10}\). La fórmula abreviada de Spearman es literalmente la Ley de Cosenos sobre esta esfera: \[\lVert\mathbf{d}\rVert^2 = \sum d_i^2 = 2 R_0^2 (1 - \cos\varphi) = 2(10)(1 - \rho_s) = 20(1 - \rho_s).\] Cuando se introducen empates mediante rangos promedio, el vector se hunde hacia el interior de la esfera (\(\lVert\widetilde{\mathbf R}\rVert < \sqrt{10}\)), reduciendo la varianza disponible.

¹⁰ El permutoedro de orden \(n\) es un polítopo convexo \((n-1)\)-dimensional en \(\mathbb{R}^n\) cuyos vértices son todas las \(n!\) permutaciones posibles del vector \((1, 2, \ldots, n)\). Todos sus vértices descansan sobre una misma hiperesfera de radio \(\sqrt{n(n^2-1)/12}\) centrada en el vector diagonal \(\mathbf{1}\).

En el siguiente laboratorio interactivo puede manipular las permutaciones de rangos, verificar las áreas cuadradas \(d_i^2\) en la cuadrícula y ver cómo el vector de rangos recorre la esfera o colapsa al interior cuando se activan los empates.

Geometría de Spearman: cuadrícula de rangos y ley de cosenos en la esfera

Sin empates, todos los vectores de rangos centrados tienen exactamente la misma norma $\|\tilde{\mathbf{R}}\| = \sqrt{10}$. A la izquierda, la discrepancia $d_i = R_{X,i} - R_{Y,i}$ es la distancia a la diagonal $R_Y = R_X$, visualizada con cuadrados de área $d_i^2$. A la derecha, la fórmula abreviada de Spearman es exactamente la Ley de Cosenos sobre la esfera: $\|\mathbf{d}\|^2 = \sum d_i^2 = 2R_0^2(1 - \cos\varphi) = 20(1 - \rho_s)$.

Permutación de rangos R_Y (120 posibles)

1 de 120

Spearman ρ_s = cos φ+0.800

Ángulo de rangos φ36.9°

Suma distancias Σd_i²4

Longitud cuerda ||d||2.00

Radio ||R̃_Y||3.162 (√10)

Ubicación en la esferaSuperficie

1. Cuadrícula de rangos: distancias a la diagonal dᵢ²

2. Esfera de permutaciones: ley de cosenos y cuerda ||d||

6 Kendall: contar concordancias

6.1 Paso 1: Intuición con un ejemplo

Tanto Pearson como Spearman calculan distancias: Pearson usa desviaciones numéricas métricas y Spearman usa desviaciones numéricas entre enteros \(d_i^2\). Maurice Kendall (Kendall 1938) propuso una alternativa todavía más fundamental, robusta y libre de supuestos métricos:

Si enfrentamos a las observaciones en un “torneo” por parejas, de dos en dos, ¿coinciden en quién está por delante?

Tomemos a dos estudiantes cualesquiera del grupo, por ejemplo A y B:

• Estudiante A: 1 hora de práctica, 2 retos resueltos.
• Estudiante B: 2 horas de práctica, 1 reto resuelto.

B practicó más horas que A (\(2 > 1\)), pero resolvió menos retos que A (\(1 < 2\)). El orden relativo se invirtió entre ambas variables. Decimos que el par (A, B) es discordante.

Ahora comparemos a A con C:

• Estudiante A: 1 hora de práctica, 2 retos resueltos.
• Estudiante C: 3 horas de práctica, 4 retos resueltos.

C practicó más horas que A (\(3 > 1\)) y también resolvió más retos (\(4 > 2\)). El orden relativo se mantuvo idéntico. Decimos que el par (A, C) es concordante.

La correlación de Kendall responde a una pregunta probabilística elemental: al elegir dos observaciones al azar, ¿qué tan más probable es que sus órdenes concuerden en lugar de discrepar?

6.2 Paso 2: Cálculo a mano paso a paso

Con \(n = 5\) estudiantes, el número total de parejas posibles es:

\[ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \text{ pares}. \]

Como la variable \(X\) (horas) ya está ordenada de menor a mayor (\(A < B < C < D < E\)), en cada par \((i, j)\) con \(i < j\) la variable \(X\) siempre crece (\(x_j - x_i > 0\)). Por tanto, la concordancia depende únicamente del signo de \(y_j - y_i\).

Evaluemos a mano los 10 pares posibles en una tabla exhaustiva:

Par \((i, j)\)	Horas \((x_i, x_j)\)	Retos \((y_i, y_j)\)	\(x_j - x_i\)	\(y_j - y_i\)	Signo del producto \((x_j-x_i)(y_j-y_i)\)	Clasificación
(A, B)	(1, 2)	(2, 1)	\(+1\)	\(-1\)	\((-)\)	Discordante (−)
(A, C)	(1, 3)	(2, 4)	\(+2\)	\(+2\)	\((+)\)	Concordante (+)
(A, D)	(1, 4)	(2, 3)	\(+3\)	\(+1\)	\((+)\)	Concordante (+)
(A, E)	(1, 5)	(2, 5)	\(+4\)	\(+3\)	\((+)\)	Concordante (+)
(B, C)	(2, 3)	(1, 4)	\(+1\)	\(+3\)	\((+)\)	Concordante (+)
(B, D)	(2, 4)	(1, 3)	\(+2\)	\(+2\)	\((+)\)	Concordante (+)
(B, E)	(2, 5)	(1, 5)	\(+3\)	\(+4\)	\((+)\)	Concordante (+)
(C, D)	(3, 4)	(4, 3)	\(+1\)	\(-1\)	\((-)\)	Discordante (−)
(C, E)	(3, 5)	(4, 5)	\(+2\)	\(+1\)	\((+)\)	Concordante (+)
(D, E)	(4, 5)	(3, 5)	\(+1\)	\(+2\)	\((+)\)	Concordante (+)

Hagamos el balance final:

• Pares concordantes (\(C\)): 8
• Pares discordantes (\(D\)): 2
• Pares empatados (\(T\)): 0
• Total de pares evaluados: \(C + D = 10\)

Calculamos Kendall tau-a (\(\tau_a\)), válida cuando no hay empates:

\[ \tau_a = \frac{C - D}{\binom{n}{2}} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6. \tag{9} \]

Interpretación probabilística rigurosa. Si seleccionamos al azar dos estudiantes de esta muestra: \[P(\text{concordancia}) = \frac{8}{10} = 0.8, \qquad P(\text{discordancia}) = \frac{2}{10} = 0.2.\] El coeficiente \(\tau_a\) es la diferencia exacta entre ambas probabilidades: \[\tau_a = P(\text{concordancia}) - P(\text{discordancia}) = 0.8 - 0.2 = 0.6.\]

Kendall no mide distancias entre valores ni curvatura; mide concordancia ordinal.¹¹ Su escala representa una diferencia de probabilidades y por ello no debe esperarse que coincida numéricamente con el 0.8 de Pearson o Spearman. De hecho, bajo normalidad bivariada teórica se cumple \(\tau = \frac{2}{\pi}\arcsin r\), lo que para \(r = 0.8\) predice \(\tau \approx 0.59\). Un valor \(\tau = 0.6\) refleja exactamente la misma intensidad de asociación que \(r = 0.8\).

¹¹ Una variable ordinal posee categorías con orden definido, pero sin distancias numéricas necesariamente comparables ni uniformes (como bajo, medio y alto). La concordancia evalúa el orden sin exigir que los intervalos sean iguales.

6.3 Paso 3: Formalización matemática

Formalmente, para cada par de observaciones \((i, j)\) con \(i < j\), definimos el producto de signos:

\[ h_{ij} = \operatorname{sgn}(x_j - x_i) \cdot \operatorname{sgn}(y_j - y_i), \]

donde \(\operatorname{sgn}(u)\) es la función signo (\(+1\) si \(u > 0\), \(-1\) si \(u < 0\), y \(0\) si \(u = 0\)). El par es:

• Concordante si \(h_{ij} = +1\);
• Discordante si \(h_{ij} = -1\) (indica una inversión de orden¹²);
• Empatado si \(h_{ij} = 0\).

¹² Una inversión en una secuencia es un par de elementos que aparecen en orden inverso al orden natural. La distancia de inversión (o distancia de Kendall tau) mide el número mínimo de intercambios de elementos adyacentes necesarios para transformar una ordenación en otra.

El coeficiente Kendall tau-a es el promedio de estos signos:

\[ \tau_a = \frac{1}{\binom{n}{2}} \sum_{1 \le i < j \le n} h_{ij} = \frac{C - D}{\binom{n}{2}}. \tag{10} \]

Corrección por empates: Kendall tau-b. Cuando existen valores repetidos en \(X\) o en \(Y\), algunos pares producen \(h_{ij} = 0\). Para evitar que los empates se penalicen injustamente como si fueran discordancias, se utiliza comúnmente Kendall tau-b:¹³

¹³ Kendall tau-b ajusta el cálculo de concordancia cuando existen empates en los datos. Modifica el denominador calculando la media geométrica del número de pares no empatados en \(X\) y en \(Y\), garantizando que el coeficiente permanezca en el intervalo \([-1, 1]\) aun en presencia de valores idénticos repetidos (Kendall 1938).

\[ \tau_b = \frac{C - D}{\sqrt{(C + D + T_X)(C + D + T_Y)}}, \tag{11} \]

donde \(T_X\) es el número de pares empatados únicamente en \(X\) y \(T_Y\) es el número de pares empatados únicamente en \(Y\). Si no hay empates, \(T_X = T_Y = 0\) y \(\tau_b\) coincide con \(\tau_a\).

6.4 Paso 4: De la intuición geométrica al laboratorio

La geometría de Kendall es eminentemente combinatoria y gráfica:

1. Pendientes de cuerdas en el grafo completo \(K_n\): En el diagrama de dispersión con \(X\) creciente, cada par \((i, j)\) define una cuerda o segmento de recta que une los puntos \((x_i, y_i)\) y \((x_j, y_j)\). La pendiente de esa cuerda es: \[m_{ij} = \frac{y_j - y_i}{x_j - x_i}.\] Como \(x_j > x_i\), el denominador siempre es positivo. Por tanto:
   • Pendiente positiva (\(m_{ij} > 0\)): la cuerda asciende hacia la derecha (verde) \(\leftrightarrow\) par concordante.
   • Pendiente negativa (\(m_{ij} < 0\)): la cuerda desciende hacia la derecha (roja) \(\leftrightarrow\) par discordante (inversión de orden).
   • Pendiente cero (\(m_{ij} = 0\)): la cuerda es horizontal (gris) \(\leftrightarrow\) empate en \(Y\).
2. La matriz triangular de signos: Las \(\binom{n}{2}\) cuerdas corresponden a las celdas de una matriz triangular superior de tamaño \(n \times n\). Cada celda contiene el signo \(+1\), \(-1\) o \(0\). Kendall \(\tau\) es el promedio global de esa matriz.

A diferencia de Pearson y Spearman, Kendall no calcula promedios globales de desviaciones ni ángulos en \(\mathbb{R}^n\): agrega \(\binom{n}{2}\) decisiones locales independientes sobre las orientaciones de las cuerdas.

En el siguiente laboratorio interactivo puede manipular las alturas de los puntos: observe cómo cada cuerda rota en tiempo real, cruza la horizontal cambiando de verde a rojo cuando se produce una inversión, y cómo cada celda de la matriz de signos refleja instantáneamente la orientación geométrica de su cuerda.

Geometría de Kendall: pendientes de cuerdas y matriz de signos

Kendall $\tau$ evalúa las $\binom{5}{2} = 10$ cuerdas que conectan todos los pares. Como $X$ es creciente, la pendiente del segmento revela la concordancia: verde si asciende ($+$), roja si desciende ($−$) y gris si es horizontal (empate). Arrastre los puntos verticalmente para observar cómo los segmentos giran y cambian de color al ocurrir una inversión.

Inspeccionar par individual (cuerda)

Par 1 de 10

Matriz triangular de signos Haga clic en una celda para aislar el par

Concordantes C (+)8

Discordantes D (−)2

Empates en Y (T_Y)0

Kendall τ_b+0.600

Concordante (pendiente > 0) Discordante (pendiente < 0) Empate (horizontal)

7 Laboratorio integrador: cuatro geometrías, una muestra

Después de estudiar cada geometría por separado, conserve \(X=(1,2,3,4,5)\) y mueva los retos en las cuatro vistas simultáneas. Observe qué cambia continuamente —covarianza y Pearson— y qué cambia solo cuando se altera el orden —Spearman y Kendall—.

Laboratorio integrador: una muestra, cuatro geometrías simultáneas

Modifique los valores de $Y$ o arrastre los puntos en los diagramas. Observe cómo responden en tiempo real: la covarianza suma rectángulos con signo, Pearson mide el ángulo y la proyección en $\mathbb{R}^n$, Spearman evalúa el ángulo sobre la esfera de rangos (ley de cosenos) y Kendall contabiliza las pendientes de las cuerdas.

Σ áreas = x̃ · ỹ+8.000

Covarianza s_XY+2.000

Pearson r = cos θ+0.800

Spearman ρ_s = cos φ+0.800

Kendall τ_b+0.600

||x̃|| / ||ỹ||3.16 / 3.16

Ángulo θ (datos)36.9°

Ángulo φ (rangos)36.9°

Cuerda ||d||² = Σd²4

C / D / Empates8 / 2 / 0

1. Covarianza: rectángulos con signo

Verde suma; rojo resta. Cada área es $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ respecto del centroide $(\bar{x}, \bar{y})$.

Mismo signo (+)Signos opuestos (−)

2. Pearson: ángulo y proyección en ℝⁿ

Plano vectorial generado por $\tilde{\mathbf{x}}$ e $\tilde{\mathbf{y}}$. La proyección ortogonal determina la varianza explicada $R^2 = \cos^2 \theta$.

Vector x̃Vector ỹProyección ŷ

3. Spearman: esfera de permutaciones

Los rangos centrados viven sobre una esfera de radio $\sqrt{10}$. La cuerda $\|\mathbf{d}\|^2 = \sum d_i^2$ determina el ángulo $\varphi$ por la ley de cosenos.

R̃_XR̃_YCuerda d

4. Kendall: orientación de los 10 pares

Con $X$ creciente, un segmento ascendente es concordante (+), uno descendente es discordante (−) y uno horizontal es empate.

Concordante (C)Discordante (D)Empate

8 Lineal, monótona y no monótona

Los siguientes diagramas Plotly mantienen datos fijos para que la comparación sea reproducible. Pase el cursor sobre los puntos para consultar valores y coeficientes.

import numpy as np
import pandas as pd
import plotly.express as px
from IPython.display import HTML, display
from scipy import stats

def mostrar_plotly(figura):
    """Incrusta Plotly sin cargar una segunda versión de MathJax."""
    html = figura.to_html(
        full_html=False,
        include_plotlyjs="cdn",
        include_mathjax=False,
    )
    display(HTML(html))

rng = np.random.default_rng(9)
n = 600
x = rng.uniform(-2, 2, n)
casos = {
    "Lineal": 2 * x + rng.normal(0, 0.7, n),
    "Monótona curva": np.exp(x) + rng.normal(0, 0.35, n),
    "Parabólica": x**2 + rng.normal(0, 0.25, n),
}

filas = []
for caso, y in casos.items():
    r = stats.pearsonr(x, y).statistic
    rho = stats.spearmanr(x, y).statistic
    for xi, yi in zip(x, y):
        filas.append({
            "X": xi,
            "Y": yi,
            "Relación": caso,
            "Pearson": r,
            "Spearman": rho,
        })

df_relaciones = pd.DataFrame(filas)
fig = px.scatter(
    df_relaciones,
    x="X",
    y="Y",
    facet_col="Relación",
    color="Relación",
    opacity=0.55,
    hover_data={"Pearson": ":.3f", "Spearman": ":.3f"},
    title="La geometría determina qué correlación resulta informativa",
)
fig.update_layout(showlegend=False)
mostrar_plotly(fig)

La relación lineal produce valores altos en Pearson y Spearman. En la curva creciente, Spearman conserva mejor la asociación porque usa orden. En la parábola, los descensos de la mitad izquierda compensan los ascensos de la mitad derecha: una correlación cercana a cero no significa ausencia de estructura.

Cero no significa independencia. Si \(X\) toma valores simétricos alrededor de cero y \(Y=X^2\), entonces \(Y\) queda completamente determinada por \(X\), pero \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\) porque los productos impares se cancelan. La independencia¹⁴ implica correlación cero cuando existen los momentos necesarios; el recíproco es falso.

¹⁴ Dos variables son independientes si conocer una no altera en absoluto la distribución probabilística de la otra: \(P(X \le x, Y \le y) = P(X \le x)P(Y \le y)\). Es una propiedad sobre toda la distribución conjunta, mucho más fuerte que tener covarianza o correlación cero.

9 Sensibilidad a una observación extrema

9.1 Paso 1: Intuición con un ejemplo

¿Qué sucede si a un grupo de observaciones con clara tendencia positiva agregamos un solo estudiante atípico? Imaginemos que alguien afirma haber practicado 20 horas pero resolvió 0 retos (o viceversa).

En el cálculo de Pearson, esa observación se ubica sumamente lejos del centroide \((\bar{x}, \bar{y})\) tanto en el eje horizontal como en el vertical. Su producto cruzado \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) resulta en un número negativo enorme que puede sobrepasar la suma de todos los demás estudiantes juntos, arrastrando la recta de regresión y volteando el signo de la correlación de positivo a negativo.

¿Qué ocurre con ese mismo estudiante en Spearman y Kendall? Al asignarle rangos, sus 20 horas simplemente ocupan la última posición (\(R_X = n\)). Si en lugar de 20 horas hubiera reportado 200 o 2000 horas, ¡su rango sigue siendo exactamente \(n\)! No puede aumentar más.

Decimos que los métodos basados en rangos experimentan una saturación de frontera: una vez que una observación ocupa el extremo de la cuadrícula \(\{1, \ldots, n\}^2\), alejarla a distancias métricas arbitrariamente grandes no modifica su posición ni altera los rangos de las demás observaciones.

9.2 Paso 2: Análisis analítico: apalancamiento continuo vs frontera de rangos

En una regresión lineal simple, el apalancamiento (leverage) \(h_{ii}\)¹⁵ de la \(i\)-ésima observación se calcula como:

¹⁵ El apalancamiento (leverage) \(h_{ii} = \frac{1}{n} + \frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sum (x_k - \bar{x})^2}\) describe qué tan inusual es una observación en el eje horizontal. Un punto muy alejado horizontalmente ejerce un gran efecto de palanca sobre la pendiente de la recta de regresión ajustada.

\[ h_{ii} = \frac{1}{n} + \frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sum_{k=1}^n (x_k - \bar{x})^2}. \tag{12} \]

El apalancamiento mide qué tan aislada se encuentra una observación en el eje horizontal respecto a la media de los datos:

• Si \(x_i \approx \bar{x}\), el apalancamiento es mínimo (\(h_{ii} \approx 1/n\)).
• A medida que \((x_i - \bar{x})^2\) crece, \(h_{ii}\) se aproxima a 1.
• Una observación con \(h_{ii}\) alto actúa como un brazo de palanca: la recta de mínimos cuadrados se ve obligada a pivotar sobre el centroide para pasar cerca de ese punto.

En contraste, en el espacio discreto de rangos \(\{1, \ldots, n\}^2\), la distancia máxima posible entre dos observaciones en cualquier eje está rígidamente acotada: \(|R_{X,i} - R_{X,j}| \le n - 1\). No existe la posibilidad de que una sola observación posea una distancia desproporcionada respecto a las demás.

9.3 Paso 3: Formalización matemática: punto de ruptura

El concepto teórico que cuantifica esta vulnerabilidad es el punto de ruptura (breakdown point (Huber y Ronchetti 2009)):¹⁶

¹⁶ El punto de ruptura (breakdown point) es la proporción mínima de observaciones contaminadas o arbitrarias que pueden alterar indefinidamente el valor de un estimador (Huber y Ronchetti 2009). Pearson tiene un punto de ruptura asintótico de \(0\%\) (basta un único valor extremo para distorsionar la correlación), mientras que los estadísticos de rangos gozan de mayor estabilidad frente a perturbaciones métricas no acotadas.

• Pearson tiene un punto de ruptura asintótico de \(0\%\): Basta una sola observación atípica (\(1/n \to 0\) cuando \(n\) crece) colocada a una distancia suficientemente extrema para forzar al coeficiente \(r\) a tomar prácticamente cualquier valor deseado en el intervalo \([-1, 1]\).
• Spearman y Kendall son estimadores resistentes: Al basarse en la ordenación de los datos, su función de influencia frente a la magnitud del alejamiento permanece acotada. Un punto extremo solo puede alterar los órdenes hasta alcanzar la frontera del conjunto \(\{1, \dots, n\}^2\).

El siguiente experimento numérico ilustra esta diferencia: parte de una nube positiva de 100 observaciones, introduce un punto extremo \((a, -a)\) y aumenta gradualmente su magnitud \(a\):

x_base = rng.normal(size=100)
y_base = 0.7 * x_base + rng.normal(scale=0.6, size=100)

filas = []
for extremo in np.linspace(0, 20, 21):
    xx = np.r_[x_base, extremo]
    yy = np.r_[y_base, -extremo]
    filas.extend([
        {
            "Magnitud del extremo": extremo,
            "Coeficiente": "Pearson",
            "Valor": stats.pearsonr(xx, yy).statistic,
        },
        {
            "Magnitud del extremo": extremo,
            "Coeficiente": "Spearman",
            "Valor": stats.spearmanr(xx, yy).statistic,
        },
        {
            "Magnitud del extremo": extremo,
            "Coeficiente": "Kendall",
            "Valor": stats.kendalltau(xx, yy).statistic,
        },
    ])

sensibilidad = pd.DataFrame(filas)
fig = px.line(
    sensibilidad,
    x="Magnitud del extremo",
    y="Valor",
    color="Coeficiente",
    markers=True,
    range_y=[-1, 1],
    title="Un solo punto puede invertir la correlación de Pearson",
)
fig.add_hline(y=0, line_dash="dot")
mostrar_plotly(fig)

La gráfica no demuestra que Spearman o Kendall sean inmunes a extremos: un punto atípico sí puede alterar pares y posiciones relativas. Muestra una distinción geométrica fundamental: Pearson reacciona de forma continua y no acotada a la magnitud métrica del alejamiento; los métodos ordinales se detienen al llegar al borde de la ordenación.

9.4 Paso 4: De la intuición geométrica al laboratorio

El laboratorio interactivo siguiente permite experimentar directamente con este mecanismo. La muestra base (puntos verdes) mantiene una asociación positiva. Mueva o arrastre libremente el octavo punto (naranja):

• A la izquierda (espacio de datos continuo): Observe cómo la distancia al centroide incrementa el apalancamiento \(h_{ii}\), obligando a la recta de regresión a pivotar e invirtiendo el signo de Pearson \(r\).
• A la derecha (espacio discreto de rangos \(\{1,\dots,8\}^2\)): Observe cómo, al alejar el punto extremo, este se congela en el borde de la cuadrícula: su rango queda fijo en \((8, 1)\) y los coeficientes de Spearman \(\rho_s\) y Kendall \(\tau_b\) permanecen estables a pesar de que el punto continúe alejándose en el plano continuo.

10 Laboratorio de influencia: mover un punto extremo

Laboratorio de influencia: apalancamiento continuo vs saturación ordinal

Siete observaciones (verdes) forman una tendencia lineal positiva. Mueva el octavo punto (naranja) o arrástrelo en la gráfica. A la izquierda (datos continuos), la distancia al centroide otorga un brazo de palanca que gira la recta de regresión e invierte Pearson. A la derecha (espacio de rangos $\{1,\dots,8\}^2$), al alejar el punto extremo este se congela en el borde: su rango no puede superar 8 ni bajar de 1, demostrando la resistencia geométrica de Spearman y Kendall.

Coordenada X del punto móvil

+8.0

Coordenada Y del punto móvil

−8.0

Pearson r−0.654

Spearman ρ_s+0.429

Kendall τ_b+0.286

Pendiente recta−0.352

Apalancamiento h_ii0.582

Rango del punto (R_X, R_Y)(8, 1) [Límite]

Base (7 pts)Atípico móvilRecta MCO

1. Espacio de datos (efecto palanca)

Rangos baseRango atípico

2. Espacio de rangos {1..8}² (saturación)

11 El cuarteto de Anscombe: mismo coeficiente, distinta historia

Los cuatro conjuntos siguientes tienen once pares y comparten, salvo redondeo, media de \(X\), media de \(Y\), varianzas, recta ajustada y correlación de Pearson. Sus diagramas cuentan historias distintas (Anscombe 1973).

anscombe_ancho = pd.DataFrame({
    "x1": [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5],
    "x2": [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5],
    "x3": [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5],
    "x4": [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 19, 8, 8, 8],
    "y1": [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68],
    "y2": [9.14, 8.14, 8.74, 8.77, 9.26, 8.10, 6.13, 3.10, 9.13, 7.26, 4.74],
    "y3": [7.46, 6.77, 12.74, 7.11, 7.81, 8.84, 6.08, 5.39, 8.15, 6.42, 5.73],
    "y4": [6.58, 5.76, 7.71, 8.84, 8.47, 7.04, 5.25, 12.50, 5.56, 7.91, 6.89],
})

anscombe = pd.concat([
    pd.DataFrame({
        "x": anscombe_ancho[f"x{i}"],
        "y": anscombe_ancho[f"y{i}"],
        "dataset": f"Serie {i}",
    })
    for i in range(1, 5)
], ignore_index=True)

fig = px.scatter(
    anscombe,
    x="x",
    y="y",
    facet_col="dataset",
    color="dataset",
    trendline="ols",
    title="Mismos resúmenes, patrones visuales distintos",
)
fig.update_layout(showlegend=False)
mostrar_plotly(fig)

• La serie 1 se aproxima a una relación lineal con ruido.
• La serie 2 presenta curvatura: una recta omite estructura sistemática.
• La serie 3 está dominada por una observación verticalmente alejada.
• La serie 4 concentra casi todos los valores de \(X\) y depende de un punto con gran apalancamiento.

El coeficiente es un resumen del conjunto completo; no certifica que la recta sea un modelo adecuado para cada observación.

12 Correlación no implica causalidad

Aunque el diagrama sea claro y el coeficiente grande, una asociación observacional no identifica por sí sola qué ocurriría al intervenir sobre \(X\).¹⁷ Entre las explicaciones posibles están:

¹⁷ Una afirmación causal describe el efecto de intervenir: qué cambiaría en \(Y\) si se modificara activamente \(X\) manteniendo comparables las demás condiciones relevantes.

• causalidad directa: cambiar \(X\) modifica \(Y\);
• causalidad inversa: \(Y\) influye sobre \(X\);
• confusión: una tercera variable afecta a ambas;¹⁸
• selección: la forma de incluir casos crea o modifica la asociación;
• tendencia común: dos series crecen con el tiempo sin un mecanismo directo;
• azar y multiplicidad: al examinar muchos pares, algunos parecen asociados solo por fluctuación muestral.

¹⁸ Un confusor es una variable externa relacionada tanto con la variable predictora como con el resultado que puede crear, ocultar o invertir la asociación observada si no se controla adecuadamente.

En el ejemplo de práctica, motivación previa, experiencia, dificultad de los retos y forma de seleccionar estudiantes podrían explicar parte de la asociación. Para sostener una afirmación causal se necesita un diseño o supuestos causales adicionales, no un umbral de correlación.

13 Matrices de correlación

Con \(p\) variables, una matriz de correlación contiene el coeficiente de cada par:

\[ R=(r_{jk})_{p\times p}, \qquad r_{jj}=1, \qquad r_{jk}=r_{kj}. \tag{10} \]

Es una vista compacta, pero no reemplaza los diagramas relevantes. Puede ocultar curvatura, subgrupos, escalas temporales y tamaños muestrales distintos.

Los valores faltantes exigen declarar una estrategia:¹⁹

¹⁹ Un valor faltante indica que una medición no está disponible. El mecanismo que produjo la ausencia importa: eliminar filas completas puede sesgar la asociación si la probabilidad de faltar depende de variables relevantes del estudio.

• con casos completos, todas las celdas usan las mismas filas, pero pueden descartarse muchas observaciones;
• con eliminación por pares, cada celda aprovecha las filas disponibles para ese par, pero los tamaños muestrales cambian y la matriz conjunta puede perder propiedades algebraicas esperadas.

Antes de interpretar un mapa de calor, reporte el número de observaciones por celda, revise variables constantes o casi constantes y abra diagramas de dispersión para los pares sustantivamente importantes. Un bloque de colores no permite diagnosticar valores extremos ni mezclas de grupos.

14 Formalización poblacional

Sean \(X\) y \(Y\) variables aleatorias con medias \(\mu_X,\mu_Y\) y varianzas finitas positivas. La covarianza poblacional es

\[ \operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] =\mathbb E[XY]-\mu_X\mu_Y. \tag{11} \]

La correlación poblacional de Pearson es

\[ \rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}. \tag{12} \]

Si \(U=a+bX\) y \(V=c+dY\), con \(b,d\ne0\), entonces

\[ \operatorname{corr}(U,V) =\operatorname{sign}(bd)\operatorname{corr}(X,Y). \]

Esta invariancia hace comparable el coeficiente entre unidades, pero también explica una limitación: Pearson resume la parte lineal estandarizada y no la pendiente física. Para cuantificar cuánto cambia \(Y\) por una unidad de \(X\) se necesita una recta de regresión y sus supuestos, no solo \(r\).

La correlación muestral es un estimador²⁰ de la correlación poblacional. Cinco pares pueden producir \(r=0.8\) sin que la población tenga exactamente ese valor. La precisión depende de \(n\), del diseño y de la forma de la distribución; reportar solo la estimación puntual oculta esa incertidumbre.

²⁰ Un estimador es una regla matemática calculada a partir de los datos de una muestra para aproximar un parámetro poblacional desconocido. Su valor numérico varía de una muestra a otra y, por tanto, está sujeto a error de muestreo e incertidumbre.

15 Implementación reproducible

La función siguiente devuelve los tres coeficientes, sus valores \(p\) y el número de pares utilizados. El valor \(p\) responde a una hipótesis nula bajo supuestos específicos; no mide el tamaño ni la importancia práctica de la asociación.²¹

²¹ Un valor \(p\) es la probabilidad, bajo el supuesto de que una hipótesis nula sea cierta y se cumplan las condiciones del modelo, de obtener un resultado muestral al menos tan extremo como el observado. No mide la magnitud del efecto ni la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera.

def resumen_correlacion(x, y):
    datos = pd.DataFrame({"x": x, "y": y}).dropna()
    if len(datos) < 3:
        raise ValueError("Se requieren al menos tres pares completos.")
    if datos["x"].nunique() < 2 or datos["y"].nunique() < 2:
        raise ValueError("Cada variable debe presentar variación.")

    pearson = stats.pearsonr(datos["x"], datos["y"])
    spearman = stats.spearmanr(datos["x"], datos["y"])
    kendall = stats.kendalltau(datos["x"], datos["y"], variant="b")

    return pd.Series({
        "n_pares": len(datos),
        "Pearson": pearson.statistic,
        "p_Pearson": pearson.pvalue,
        "Spearman": spearman.statistic,
        "p_Spearman": spearman.pvalue,
        "Kendall_tau_b": kendall.statistic,
        "p_Kendall": kendall.pvalue,
    })

horas = [1, 2, 3, 4, 5]
retos = [2, 1, 4, 3, 5]
resumen_correlacion(horas, retos).round(4)

n_pares          5.0000
Pearson          0.8000
p_Pearson        0.1041
Spearman         0.8000
p_Spearman       0.1041
Kendall_tau_b    0.6000
p_Kendall        0.2333
dtype: float64

Para una matriz, conviene acompañar cada coeficiente con el número efectivo de pares:

def correlaciones_y_tamanos(datos, metodo="pearson"):
    numericas = datos.select_dtypes(include="number")
    correlaciones = numericas.corr(method=metodo)
    disponibles = numericas.notna().astype(int)
    tamanos = disponibles.T @ disponibles
    return correlaciones, tamanos

ejemplo_faltantes = pd.DataFrame({
    "horas": [1, 2, 3, 4, 5, np.nan],
    "retos": [2, 1, 4, 3, 5, 6],
    "pausas": [3, np.nan, 2, 2, 1, 1],
})

matriz_r, matriz_n = correlaciones_y_tamanos(ejemplo_faltantes)
matriz_r.round(3), matriz_n

(        horas  retos  pausas
 horas   1.000  0.800  -0.956
 retos   0.800  1.000  -0.945
 pausas -0.956 -0.945   1.000,
         horas  retos  pausas
 horas       5      5       4
 retos       5      6       5
 pausas      4      5       5)

ImportanteDel cálculo al programa

Pearson acumula desviaciones, productos y cuadrados. Spearman transforma primero ambas columnas en rangos promedio y reutiliza Pearson. Una implementación directa de Kendall compara \(\binom n2\) pares, por lo que su costo es cuadrático; bibliotecas estadísticas emplean algoritmos más eficientes. En todos los casos debe preservarse el emparejamiento original de las filas.

16 Guía de decisión

Pregunta	Medida principal	Gráfica mínima	Precaución
¿La nube se organiza alrededor de una recta?	Pearson	Dispersión con tendencia	Sensible a extremos; cero no descarta curvatura.
¿Una variable crece o decrece consistentemente con la otra?	Spearman	Dispersión y rangos	Los empates requieren rangos promedio.
¿Qué tan frecuentemente concuerdan los órdenes de pares?	Kendall tau-b	Dispersión o tabla ordinal	Su escala no coincide numéricamente con Pearson.
¿Existe una relación no monótona?	Ninguna de las tres basta	Dispersión y suavizado	Considerar modelos no lineales.
¿Se comparan muchas variables?	Matriz más gráficos seleccionados	Mapa de calor y dispersiones	Reportar \(n\), faltantes y multiplicidad.
¿Se busca una explicación causal?	La correlación es solo exploratoria	Diagrama causal y análisis del diseño	Requiere supuestos o intervención adicionales.

17 Errores frecuentes

• Romper los pares al ordenar columnas por separado. La unidad de análisis es \((x_i,y_i)\); cambiar parejas inventa otra asociación.
• Interpretar \(r=0\) como “no hay relación”. Solo descarta una asociación lineal neta en la muestra.
• Usar Spearman como detector universal de no linealidad. Detecta orden monótono; una U también puede producir \(\rho_s\approx0\).
• Eliminar un extremo porque cambia el signo. Primero se verifica si es error, caso de otra población o evento genuino.
• Comparar coeficientes con tamaños muestrales distintos sin reportarlos. La estabilidad de 0.5 con 12 pares no es la misma que con 12,000.
• Convertir significancia en relevancia. Con muestras grandes, una correlación minúscula puede producir un valor \(p\) pequeño.
• Inferir causalidad por magnitud. Una correlación de 0.95 sigue siendo compatible con confusión o selección.

18 Puentes con minería de datos

Contexto	Uso de la correlación	Límite que debe recordarse
Selección exploratoria de atributos	Detectar redundancia lineal o monótona.	Dos predictores correlacionados pueden aportar información condicional distinta.
Diagnóstico de multicolinealidad	Señalar pares linealmente relacionados.	La multicolinealidad puede involucrar combinaciones de más de dos variables.
Detección de fuga de información	Una asociación casi perfecta con el objetivo merece revisión.	La fuga depende del momento y proceso de disponibilidad, no solo de \(r\).
Series temporales	Explorar co-movimiento y rezagos.	Tendencias y autocorrelación pueden crear asociaciones espurias.
Agrupamiento de variables	Construir distancias como \(1-r\).	El signo, los faltantes y la validez métrica requieren decisiones explícitas.
Monitoreo	Comparar cambios de asociación entre periodos o segmentos.	Una correlación agregada puede ocultar patrones opuestos por grupo.

19 Puente al caso BigMart

El capítulo Medidas de correlación en Big Mart Sales traslada esta secuencia a variables comerciales y tipos de outlet:

1. conservar las filas emparejadas e inspeccionar diagramas de dispersión;
2. distinguir relaciones lineales, monótonas y no monótonas;
3. comparar Pearson y Spearman según la pregunta;
4. construir matrices documentando faltantes y tamaños efectivos;
5. revisar asociaciones por grupos antes de interpretar un coeficiente global.

El código aplicado deja así de ser una colección de llamadas a .corr(): cada celda se conecta con una geometría, una unidad de análisis y una limitación.

20 Ejercicios formativos

1. Cálculo completo. Para \(X=(1,2,3,4,5)\) y \(Y=(5,3,4,1,2)\), construya la tabla de desviaciones, calcule covarianza muestral y Pearson, asigne rangos y cuente los diez pares para Spearman y Kendall.
2. Cambio de unidades. Convierta las horas del ejemplo a minutos y sume 10 a todos los retos. Prediga qué ocurre con covarianza, Pearson, Spearman y Kendall antes de calcular.
3. Relación sin correlación. Verifique que \(X=(-2,-1,0,1,2)\) y \(Y=X^2\) producen Pearson y Spearman cercanos a cero. Dibuje los puntos y explique por qué no son independientes.
4. Empates. Para \(X=(1,2,2,4,5)\) y \(Y=(1,1,3,4,4)\), obtenga rangos promedio y calcule Spearman como Pearson entre rangos. Identifique los pares empatados necesarios para tau-b.
5. Punto influyente. Parta de una nube positiva de diez puntos y agregue uno en la dirección contraria. Compare los tres coeficientes y justifique si conservaría, corregiría o segmentaría esa observación.
6. Anscombe. Calcule para cada serie media, varianza, pendiente y Pearson. Después describa qué decisión equivocada surgiría si solo se leyera la tabla.
7. Faltantes. Construya una tabla de cuatro variables donde la eliminación por pares use distintos tamaños muestrales. Reporte las matrices de correlación y de \(n\) mediante correlaciones_y_tamanos.
8. Causalidad. Proponga tres explicaciones para una correlación positiva entre uso de una plataforma educativa y calificación: una causal, una de causalidad inversa y una por confusión. Indique qué datos ayudarían a distinguirlas.

Referencias

Anscombe, Francis J. 1973. «Graphs in Statistical Analysis». The American Statistician 27 (1): 17-21. https://doi.org/10.1080/00031305.1973.10478966.

Freedman, David, Robert Pisani, y Roger Purves. 2007. Statistics. 4.ª ed. W. W. Norton.

Huber, Peter J., y Elvezio M. Ronchetti. 2009. Robust Statistics. 2.ª ed. Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470434697.

Kendall, Maurice G. 1938. «A New Measure of Rank Correlation». Biometrika 30 (1/2): 81-93. https://doi.org/10.2307/2332226.

Pearson, Karl. 1895. «Notes on Regression and Inheritance in the Case of Two Parents». Proceedings of the Royal Society of London 58: 240-42. https://doi.org/10.1098/rspl.1895.0041.

Spearman, Charles. 1904. «The Proof and Measurement of Association between Two Things». The American Journal of Psychology 15 (1): 72-101. https://doi.org/10.2307/1412159.