Autor/a

Diego Villalba

Fecha de publicación

16 de octubre de 2026

1 El problema: ¿qué tiempo representa una entrega habitual?

Una pequeña mensajería registró el tiempo, en minutos, de nueve entregas realizadas durante una tarde:

\[ 18, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 75. \]

La última motocicleta encontró una avenida cerrada. Los 75 minutos son una observación real, no necesariamente un error, pero están muy alejados del resto; la llamaremos valor extremo.1

1 Un valor extremo es una observación muy alejada del cuerpo principal de los datos. Puede ser un evento genuino, un caso de otra población o un error; la distancia por sí sola no decide cuál explicación es correcta.

Imagine que debemos completar una frase para un cliente:

Una entrega de esta mensajería tarda alrededor de ______ minutos.

¿Debemos escribir 20, 22 o 28? Los tres números se pueden defender, pero responden preguntas distintas:

Pregunta Idea de centro Medida
¿Cuánto tiempo se consumió por entrega en promedio? Repartir el tiempo total por igual Media
¿Qué valor deja la mitad de las entregas a cada lado? Localizar el caso central Mediana
¿Qué tiempo exacto se repitió más? Buscar la mayor frecuencia Moda
¿Qué tiempo no supera cierto porcentaje de entregas? Fijar una posición acumulada Cuantil

Una medida de localización es un estadístico2 que sitúa una distribución sobre la escala de la variable. “Localización” no significa que exista un centro universal: primero se elige la pregunta y después la fórmula (Tukey 1977; Freedman et al. 2007).

2 Un estadístico es cualquier función calculada a partir de una muestra, como una media o un máximo. Su valor cambia si cambia la muestra. Un parámetro describe a la población completa y normalmente es desconocido.

NotaDos cambios que servirán como brújula
  • Si sumamos 10 minutos a todas las entregas, cualquier centro razonable debería aumentar 10 minutos.
  • Si solo la demora de 75 aumenta, la media debería reaccionar; el caso que ocupa la mitad del orden podría permanecer igual.

Estas dos ideas anticipan la diferencia entre usar magnitudes y usar posiciones.

2 Antes de resumir: conservar los datos visibles

Los datos ya están ordenados. Escribamos debajo sus posiciones:

Posición \(i\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo \(x_{(i)}\) 18 20 20 21 22 24 25 27 75

La notación \(x_{(i)}\) indica el dato que ocupa la posición \(i\) después de ordenar; se llama estadístico de orden.3

3 Un estadístico de orden es una observación identificada por su posición después de ordenar la muestra. Los paréntesis en \(x_{(i)}\) indican rango, no el dato originalmente registrado en la fila \(i\).

Una cifra resumen nunca sustituye la distribución. Antes de elegirla conviene ver los datos, un histograma o un diagrama de caja. En este ejemplo, informar solo “28 minutos” ocultaría que ocho de nueve entregas tardaron 27 minutos o menos.

3 Tres respuestas para el mismo conjunto

3.1 Media: repartir el total por igual

Sumemos los nueve tiempos:

\[ 18+20+20+21+22+24+25+27+75=252. \]

Si repartimos esos 252 minutos por igual entre las nueve entregas,

\[ \bar{x}=\frac{252}{9}=28\text{ minutos}. \tag{1} \]

La media no afirma que alguna entrega haya durado 28 minutos. Afirma que, si el tiempo total se redistribuyera equitativamente, corresponderían 28 minutos a cada una. Por eso resulta útil para presupuestar tiempo total: nueve entregas a 28 minutos reproducen los 252 minutos observados.

Otra forma de verla es como punto de equilibrio. Las desviaciones respecto a 28 se cancelan:

\[ \sum_{i=1}^{9}(x_i-28)=\sum_{i=1}^{9}x_i-9(28)=252-252=0. \]

Los 47 minutos que la entrega de 75 queda por arriba pesan tanto como todos los déficits que quedan por debajo. Esa es una virtud cuando interesa conservar el total y una limitación cuando interesa describir un caso habitual.

3.2 Mediana: encontrar el caso central

Como hay nueve observaciones, la posición central es

\[ \frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5. \]

El quinto tiempo ordenado es 22:

\[ \widetilde{x}=x_{(5)}=22\text{ minutos}. \tag{2} \]

Hay cuatro observaciones antes y cuatro después. La mediana no reparte minutos; reparte posiciones. Para un número par de observaciones no existe una sola posición central, por lo que se acostumbra promediar los dos valores centrales.

3.3 Moda: encontrar lo más frecuente

Contemos las repeticiones:

Tiempo 18 20 21 22 24 25 27 75
Frecuencia 1 2 1 1 1 1 1 1

La frecuencia mayor es 2, de modo que

\[ \operatorname{Moda}(x)=20\text{ minutos}. \tag{3} \]

La moda sí corresponde a un valor observado. Puede haber dos o más modas —una distribución multimodal4— o ninguna repetición que haga útil hablar de una moda muestral.

4 Una distribución multimodal posee más de un máximo local o más de un valor con frecuencia máxima. Puede ser señal de que se mezclaron subgrupos, aunque no lo demuestra por sí sola.

ImportanteTres números correctos, tres afirmaciones distintas
  • 28 minutos: tiempo total por entrega si se reparte por igual.
  • 22 minutos: la mitad de las entregas tardó 22 minutos o menos y la otra mitad 22 minutos o más.
  • 20 minutos: fue el tiempo exacto observado con mayor frecuencia.

Decir solo “el promedio” es ambiguo. Conviene nombrar la medida y traducirla a una frase vinculada con la decisión.

4 ¿Qué cambia cuando se alarga la demora?

Suponga que la entrega tardía pasa de 75 a 120 minutos. La suma aumenta 45 y, por tanto, la media aumenta

\[ \frac{45}{9}=5\text{ minutos}. \]

La nueva media es 33, mientras la mediana sigue siendo 22 y la moda sigue siendo 20. En general, si una observación cambia en una cantidad \(\Delta\) y el tamaño de la muestra no cambia,

\[ \bar{x}_{\mathrm{nueva}}-\bar{x}_{\mathrm{anterior}} =\frac{\Delta}{n}. \tag{4} \]

La media escucha la magnitud de cada dato, incluso la de uno extremo. La mediana escucha principalmente su posición: mover el máximo todavía más a la derecha no cambia cuál observación ocupa el centro. Esta menor sensibilidad se denomina robustez.5

5 Una medida es robusta si cambios pequeños en la mayoría de los datos o una fracción limitada de observaciones anómalas no producen cambios desproporcionados en el resultado.

4.1 Un compromiso: la media recortada

Una media recortada elimina la misma cantidad de observaciones en cada cola y promedia las restantes (Wilcox 2012). Si retiramos una observación de cada extremo —\(1/9\approx11.1\%\) de la muestra por cola— quedan

\[ 20, 20, 21, 22, 24, 25, 27. \]

Su media es

\[ \bar{x}_{\mathrm{rec}} =\frac{20+20+21+22+24+25+27}{7} =\frac{159}{7} \approx22.71. \tag{5} \]

Si 75 cambia a 120, el máximo se vuelve a retirar y el resultado permanece en 22.71. Sin embargo, el recorte no debe escogerse después de mirar qué respuesta conviene: se declara por anticipado y siempre se aplica simétricamente.

Recortar no es borrar errores. Si 75 proviene de una avenida cerrada, pertenece al proceso real. La media recortada ofrece otra descripción del centro, pero el evento extremo debe conservarse, investigarse y comunicarse.

5 Cuantiles: responder preguntas de servicio

La mediana es un caso particular de cuantil. El cuantil de nivel \(p\) busca un umbral que deje aproximadamente una proporción \(p\) de los datos por debajo o en él. Cuando \(p\) se expresa como porcentaje hablamos de percentil: \(Q(0.9)\) es el percentil 90 o \(P_{90}\).

Para calcular a mano los cuartiles6 usaremos la convención de “medianas de las mitades”: se excluye la mediana global y se toma la mediana de cada mitad.

6 Los cuartiles dividen la distribución ordenada en cuatro partes. \(Q_1=Q(0.25)\), \(Q_2=Q(0.5)\) es la mediana y \(Q_3=Q(0.75)\).

La mitad inferior es

\[ (18,20,20,21), \]

por lo que

\[ Q_1=\frac{20+20}{2}=20. \]

La mitad superior es

\[ (24,25,27,75), \]

y entonces

\[ Q_3=\frac{25+27}{2}=26. \]

Así, la mitad central de los tiempos se encuentra aproximadamente entre 20 y 26 minutos. En operación, un cuantil alto responde una pregunta distinta del centro: “¿qué límite cubre, por ejemplo, 90% de las entregas?”. Ese límite es útil para fijar acuerdos de servicio, pero requiere más datos que nueve observaciones para estimar con estabilidad la cola.7

7 Una cola es la región de valores poco frecuentes situada en un extremo de la distribución. Estimar cuantiles altos exige suficientes observaciones precisamente en la cola derecha.

NotaPor qué dos programas pueden dar cuartiles distintos

Entre posiciones observadas se puede redondear, seleccionar un dato o interpolar. Existen varias convenciones legítimas para cuantiles muestrales (Hyndman y Fan 1996). En muestras pequeñas, documente siempre el método. En este capítulo, “medianas de las mitades” es una decisión explícita, no la única definición posible.

6 Cuando las observaciones representan cantidades distintas

Ahora la mensajería resume tres zonas a partir del tiempo medio de cada zona:

Zona Tiempo medio \(x_i\) Entregas \(w_i\) Minutos acumulados \(w_ix_i\)
Centro 20 50 1,000
Norte 25 30 750
Periferia 40 20 800
Total 100 2,550

Promediar los tres tiempos sin pesos daría

\[ \frac{20+25+40}{3}=28.33, \]

como si cada zona aportara el mismo número de entregas. Para recuperar el tiempo por entrega usamos el número de entregas como peso:8

8 Un peso indica cuánto contribuye o cuántas unidades representa una observación resumida. No debe confundirse con el peso físico de un producto ni elegirse solo para forzar un resultado.

\[ \bar{x}_w =\frac{\sum_{i=1}^{K}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{K}w_i} =\frac{2550}{100} =25.5\text{ minutos}. \tag{6} \]

El peso debe corresponder a la unidad que se quiere describir. Si la pregunta fuera “¿cómo se comporta una zona elegida al azar?”, dar igual peso a las zonas podría ser apropiado; si es “¿cuánto tarda una entrega elegida al azar?”, se necesitan los tamaños de zona.

7 Por qué media y mediana aparecen como soluciones

Hasta aquí construimos las medidas desde preguntas concretas. Ahora podemos formalizar una propiedad que explica por qué aparecen repetidamente en estadística y aprendizaje automático.

7.1 La media minimiza errores cuadrados

Sea \(a\) un número usado para representar todas las observaciones. Su pérdida cuadrática total9 es

9 Una función de pérdida asigna un costo numérico a la diferencia entre una predicción o resumen y lo observado. Minimizarla convierte el significado práctico de un error en un criterio matemático.

\[ S_2(a)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2. \]

Al sumar y restar \(\bar{x}\) dentro de cada término se obtiene

\[ S_2(a) =\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(a-\bar{x})^2. \tag{7} \]

El primer término no depende de \(a\) y el segundo nunca es negativo. Por tanto, \(S_2(a)\) alcanza su único mínimo cuando \(a=\bar{x}\). En las entregas,

\[ S_2(28)=2548 < S_2(22)=2872. \]

Elevar al cuadrado penaliza con fuerza los errores grandes: la diferencia de 47 minutos asociada con la entrega tardía aporta \(47^2=2209\) unidades a la pérdida evaluada en 28.

7.2 La mediana minimiza errores absolutos

Si el costo crece linealmente con la distancia, usamos

\[ S_1(a)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-a|. \]

Mover \(a\) ligeramente a la derecha reduce la distancia a cada observación que queda a la derecha y aumenta la distancia a cada observación de la izquierda. En una mediana hay al menos la mitad de los datos a cada lado, por lo que ningún movimiento puede reducir el saldo total. Así, cualquier mediana minimiza \(S_1(a)\).10

10 Con \(n\) par, cualquier punto entre los dos valores centrales minimiza la suma de desviaciones absolutas. Promediarlos selecciona un único valor por convención.

En el ejemplo,

\[ S_1(22)=72 < S_1(28)=94. \]

ImportanteElegir centro equivale a elegir qué error importa
  • La media es óptima para pérdida cuadrática: castiga de forma creciente los errores grandes.
  • La mediana es óptima para pérdida absoluta: cada minuto adicional cuesta lo mismo.

No se trata de que una medida sea universalmente mejor. La función de pérdida traduce las consecuencias de una decisión a una cantidad que se desea reducir.

8 Laboratorio interactivo: arrastrar una demora

Mueva el tiempo de la novena entrega. Observe qué centros se desplazan y dónde alcanzan su mínimo las dos funciones de pérdida.

Explorador de centros

Las primeras ocho entregas permanecen fijas. Cambie solo la novena y compare sensibilidad y función de pérdida.

Media
Mediana
Moda
Media recortada
Q₁ / Q₃
Suma total

9 Formalización

Sea una muestra numérica \(x_1,\ldots,x_n\).11 La media aritmética es

11 Una muestra es el conjunto de unidades observadas; la población es el conjunto más amplio sobre el que se desea aprender. Describir bien una muestra no garantiza que represente a la población.

\[ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i. \tag{8} \]

Si \(x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}\) son los datos ordenados, la mediana es

\[ \widetilde{x}= \begin{cases} x_{((n+1)/2)}, & n\text{ impar},\\[4pt] \dfrac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}, & n\text{ par}. \end{cases} \tag{9} \]

Para datos discretos o categóricos, si \(f(v)\) es la frecuencia del valor \(v\), el conjunto de modas es

\[ \operatorname{Moda}(x)=\left\{v:f(v)=\max_u f(u)\right\}. \tag{10} \]

Para una distribución poblacional con función acumulada \(F\),12 una definición general del cuantil de nivel \(p\in(0,1)\) es

12 La función de distribución acumulada es \(F(x)=P(X\le x)\): la probabilidad de observar un valor no mayor que \(x\). Es no decreciente y toma valores entre 0 y 1.

\[ Q(p)=\inf\{x:F(x)\ge p\}. \tag{11} \]

El ínfimo selecciona el menor valor donde la probabilidad acumulada alcanza o supera \(p\); en una muestra finita todavía debe elegirse una convención de interpolación.

9.1 Qué ocurre al cambiar de unidad

Suponga que transformamos cada dato mediante \(y_i=ax_i+b\), con \(a>0\). Entonces

\[ \bar y=a\bar x+b, \qquad \widetilde y=a\widetilde x+b, \qquad Q_y(p)=aQ_x(p)+b. \]

Esta propiedad se llama equivarianza afín.13 Por ejemplo, convertir minutos a segundos multiplica los centros por 60; retrasar todos los registros cinco minutos les suma cinco. La moda también conserva esta relación si la transformación es uno a uno.

13 Una transformación afín combina un cambio de escala, \(a\), con un desplazamiento, \(b\). La condición \(a>0\) conserva el orden de las observaciones.

9.2 Robustez no significa inmunidad

La media puede desplazarse arbitrariamente al mover una sola observación cada vez más lejos. En contraste, para llevar la mediana fuera del centro es necesario alterar aproximadamente la mitad de la muestra (Huber y Ronchetti 2009). Esto hace atractiva a la mediana frente a contaminación o colas largas, pero no la vuelve infalible: datos duplicados, sesgos de selección o una muestra que no representa la población afectan cualquier resumen.

9.3 La moda exige cuidado con datos continuos

En variables continuas dos mediciones exactas rara vez coinciden. La barra más alta de un histograma describe una clase modal, pero puede cambiar al mover el origen o el ancho de los intervalos. Una estimación por densidad también depende de un parámetro de suavizado.14 Por ello, la moda suele ser más natural para categorías o conteos discretos que para mediciones continuas.

14 Una densidad describe cómo se distribuye localmente la probabilidad de una variable continua. Su altura no es una probabilidad puntual; son las áreas bajo la curva las que representan probabilidades.

10 Implementación reproducible

La siguiente función explicita las convenciones usadas en el cálculo manual. En particular, los cuartiles se obtienen como medianas de las mitades y el recorte se expresa como un número entero de observaciones por cola.

Mostrar código 
import numpy as np
import pandas as pd

def cuartiles_mediana_mitades(x):
    x = np.sort(np.asarray(x, dtype=float))
    n = x.size
    punto = n // 2
    inferior = x[:punto]
    superior = x[punto + (n % 2):]
    return np.median(inferior), np.median(superior)

def resumen_localizacion(x, recorte=1):
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    if x.ndim != 1 or x.size == 0:
        raise ValueError("x debe ser un vector no vacío.")
    if not np.all(np.isfinite(x)):
        raise ValueError("x solo puede contener valores finitos.")
    if recorte < 0 or 2 * recorte >= x.size:
        raise ValueError("El recorte debe conservar al menos una observación.")

    ordenados = np.sort(x)
    frecuencias = pd.Series(x).value_counts()
    frecuencia_maxima = frecuencias.max()
    modas = sorted(frecuencias[frecuencias == frecuencia_maxima].index.tolist())
    q1, q3 = cuartiles_mediana_mitades(x)
    interior = ordenados[recorte:x.size - recorte] if recorte else ordenados

    return pd.Series({
        "n": x.size,
        "Media": x.mean(),
        "Mediana": np.median(x),
        "Moda(s)": ", ".join(f"{m:g}" for m in modas),
        "Q1 (medianas de mitades)": q1,
        "Q3 (medianas de mitades)": q3,
        "Media recortada": interior.mean(),
    })

tiempos = [18, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 75]
resumen_localizacion(tiempos, recorte=1)
n                                   9
Media                            28.0
Mediana                          22.0
Moda(s)                            20
Q1 (medianas de mitades)         20.0
Q3 (medianas de mitades)         26.0
Media recortada             22.714286
dtype: object

La sensibilidad puede comprobarse sin cambiar los primeros ocho tiempos:

Mostrar código 
filas = []
for demora in [27, 30, 75, 120]:
    x = [18, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 27, demora]
    r = resumen_localizacion(x, recorte=1)
    filas.append({
        "Novena entrega": demora,
        "Media": r["Media"],
        "Mediana": r["Mediana"],
        "Media recortada": r["Media recortada"],
    })

pd.DataFrame(filas).round(2)
Novena entrega Media Mediana Media recortada
0 27 22.67 22.0 22.71
1 30 23.00 22.0 22.71
2 75 28.00 22.0 22.71
3 120 33.00 22.0 22.71

10.1 Exploración visual de la sensibilidad

El mismo experimento puede recorrerse sobre una gráfica interactiva. Las líneas usan exactamente los cuatro escenarios de la tabla anterior.

Mostrar código 
import plotly.express as px
from IPython.display import HTML, display

def mostrar_plotly(figura):
    """Incrusta Plotly sin cargar una segunda versión de MathJax."""
    display(HTML(figura.to_html(
        full_html=False,
        include_plotlyjs="cdn",
        include_mathjax=False,
    )))

sensibilidad_localizacion = (
    pd.DataFrame(filas)
    .melt(
        id_vars="Novena entrega",
        var_name="Medida",
        value_name="Minutos",
    )
)

fig = px.line(
    sensibilidad_localizacion,
    x="Novena entrega",
    y="Minutos",
    color="Medida",
    markers=True,
    title="La demora extrema desplaza de manera distinta cada centro",
)
fig.update_layout(
    xaxis_title="Tiempo de la novena entrega (minutos)",
    yaxis_title="Valor de la medida (minutos)",
    legend_title_text="Medida de localización",
)
mostrar_plotly(fig)

Para datos resumidos por grupos, la media ponderada debe validar que los pesos sean no negativos y que al menos uno sea positivo:

Mostrar código 
def media_ponderada(valores, pesos):
    valores = np.asarray(valores, dtype=float)
    pesos = np.asarray(pesos, dtype=float)
    if valores.shape != pesos.shape or valores.ndim != 1:
        raise ValueError("valores y pesos deben ser vectores del mismo tamaño.")
    if not np.all(np.isfinite(valores)) or not np.all(np.isfinite(pesos)):
        raise ValueError("valores y pesos deben ser finitos.")
    if np.any(pesos < 0) or pesos.sum() <= 0:
        raise ValueError("Los pesos deben ser no negativos y sumar más de cero.")
    return np.sum(valores * pesos) / np.sum(pesos)

media_ponderada([20, 25, 40], [50, 30, 20])
np.float64(25.5)

11 Guía de decisión

Pregunta Medida principal Qué debe acompañarla
¿Qué valor conserva el total al repartirlo por igual? Media Tamaño de muestra, dispersión y presencia de extremos
¿Cuál es el caso central por posición? Mediana Cuartiles y forma de la distribución
¿Qué valor o categoría se repite más? Moda Tabla de frecuencias; informar empates
¿Qué umbral cubre una proporción \(p\)? Cuantil \(Q(p)\) Método de cálculo y cantidad de datos en la cola
¿Cada resumen representa un número distinto de casos? Media ponderada Significado y suma de los pesos
¿Se desea un centro menos sensible sin abandonar el promedio? Media recortada Porcentaje retirado en cada cola, fijado de antemano

Una buena descripción suele reportar más de una pieza: centro, variabilidad y una gráfica. Media y mediana cercanas no demuestran normalidad; distribuciones multimodales o con colas pesadas también pueden compartir ambos centros.

12 Errores frecuentes

  • Eliminar el extremo solo porque cambia la media. Primero se verifica su origen. Un cierre vial real y un error de captura requieren decisiones distintas.
  • Promediar códigos nominales. Si bicicleta=1, moto=2 y auto=3, la media de los códigos cambia al renombrarlos y no tiene interpretación métrica.15
  • Confundir moda con mayoría. Que 20 sea la moda no significa que más de 50% de las entregas tarde 20 minutos; aquí solo son 2 de 9.
  • Ocultar pesos. Promediar promedios de grupos sin sus tamaños concede el mismo peso a grupos grandes y pequeños.
  • Comparar cuantiles calculados con convenciones distintas. En muestras pequeñas, la interpolación puede cambiar el resultado.
  • Usar la media recortada sin declarar el recorte. “Media robusta” no basta; se debe informar cuánto se retiró de cada cola.

15 Una variable nominal usa etiquetas sin orden ni distancias naturales, como color o medio de transporte. Los números asignados como códigos son identificadores, no magnitudes.

13 Puentes con minería de datos

Contexto Papel de las medidas de localización
Imputación de faltantes Media o mediana sirven como línea base; la mediana suele resistir mejor colas y extremos, pero ambas reducen artificialmente la variabilidad.
Escalamiento robusto Centrar con la mediana y escalar con el rango intercuartílico reduce la influencia de extremos.
Regresión La predicción que minimiza error cuadrático estima una media condicional; con error absoluto, una mediana condicional.16
Pronóstico de servicio Cuantiles condicionales permiten estimar tiempos que cubren 50%, 90% o 95% de los casos.
Segmentación Comparar centros por grupo solo es informativo junto con tamaños, dispersiones y distribuciones.
Monitoreo Cambios en media y mediana pueden distinguir un desplazamiento general de unos pocos incidentes extremos.

16 Una media o mediana condicional resume la respuesta dentro de casos que comparten ciertos predictores, por ejemplo el tiempo de entrega para una zona y una hora específicas.

Una medida descriptiva no explica por qué cambió el proceso ni demuestra que una variable cause otra. Primero resume; la explicación requiere contexto, diseño y análisis adicional.

14 Puente al caso BigMart

El capítulo Medidas de localización en Big Mart Sales traslada esta secuencia a variables como peso, visibilidad, precio y ventas:

  1. inspeccionar la distribución y la unidad de medida;
  2. formular qué significa un valor “típico” en ese contexto;
  3. reproducir media, mediana, moda, cuantiles o centros ponderados;
  4. comparar su sensibilidad a asimetrías y extremos;
  5. interpretar el centro junto con variabilidad y forma.

El código aplicado deja de ser una colección de funciones: cada cálculo queda asociado con una pregunta y con los supuestos aprendidos en este capítulo.

15 Ejercicios formativos

  1. Cálculo completo. Para los tiempos \((12,14,14,15,16,18,19,21,51)\), calcule media, mediana, moda, \(Q_1\), \(Q_3\) por medianas de mitades y media recortada retirando un dato por cola.
  2. Sensibilidad exacta. En el ejemplo de entregas, cambie 75 por 210. Prediga el cambio de la media mediante la ecuación (4) antes de recalcular. Explique por qué la mediana no cambia.
  3. Dos pérdidas. Calcule \(S_1(a)\) y \(S_2(a)\) para \(a=20,22,28\) usando los nueve tiempos. Verifique dónde es menor cada pérdida y explique por qué los mínimos difieren.
  4. Media ponderada. Una cuarta zona tarda 55 minutos y aporta 5 entregas. Actualice la media ponderada. Compare el resultado con el promedio sin pesos de los cuatro tiempos zonales.
  5. Mismo centro, distinta distribución. Construya dos conjuntos de nueve valores con la misma media y mediana, pero con dispersiones claramente distintas. Dibújelos antes de concluir que se parecen.
  6. Moda sin mayoría. Construya un conjunto donde la moda aparezca más que cualquier otro valor pero represente menos de 25% de las observaciones.
  7. Decisión de servicio. Argumente qué medida usaría para (a) presupuestar horas totales de trabajo, (b) describir una entrega habitual y (c) prometer un tiempo que cubra 90% de los pedidos. Indique qué información adicional necesitaría.

Referencias