Autor/a

Diego Villalba

Fecha de publicación

16 de octubre de 2026

1 El problema: mismo centro y escala, distinta experiencia

Una cafetería registró el tiempo de espera, en minutos, de sus primeros cinco clientes durante dos mañanas:

Mañana Tiempos de espera ordenados
A \(0,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\)
B \(2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 7\)

En ambas mañanas, la espera media es de tres minutos:

\[ \bar x_A=\frac{0+2+3+4+6}{5}=3, \qquad \bar x_B=\frac{2+2+2+2+7}{5}=3. \]

También comparten el mismo segundo momento central,1 que en este capítulo calcularemos con divisor \(n\):

1 Un momento central de orden \(r\) es el promedio de las desviaciones respecto de la media elevadas a la potencia \(r\). El orden 2 mide dispersión; los órdenes 3 y 4 participan en medidas de forma.

\[ \begin{aligned} m_{2,A} &=\frac{(-3)^2+(-1)^2+0^2+1^2+3^2}{5}=4,\\ m_{2,B} &=\frac{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+4^2}{5}=4. \end{aligned} \]

Por tanto, ambas tienen escala \(\sqrt{m_2}=2\) minutos. Sin embargo, no cuentan la misma historia:

  • en A, los tiempos se reparten de manera simétrica alrededor de 3;
  • en B, cuatro clientes esperan 2 minutos y uno espera 7: hay una extensión hacia la derecha.

La localización y la variabilidad no determinan la geometría de una distribución.2 Para distinguir estas mañanas necesitamos estudiar su forma: simetría, dirección de las colas, frecuencia de observaciones alejadas y número de agrupamientos o modos (Tukey 1977; Heckert et al. 2012).

2 Una distribución describe qué valores puede tomar una variable y con qué frecuencia o probabilidad aparecen. En una muestra se observa una versión finita de esa estructura.

NotaUna idea que servirá como brújula

Trasladar todos los datos cinco minutos o convertir minutos a segundos cambia la localización o la escala, pero no debería cambiar la forma. En contraste, mover una sola observación hacia un extremo sí puede cambiarla.

2 Aprender a mirar la forma

2.1 Simetría y asimetría

Una distribución es simétrica alrededor de \(c\) si las desviaciones a la izquierda y a la derecha de \(c\) tienen el mismo comportamiento. En una distribución continua,3 esto significa que su densidad satisface \(f(c-t)=f(c+t)\) para todo \(t\) donde esté definida. En datos finitos, la idea se aprecia al ordenar los valores y comparar pares equidistantes del centro.

3 Una variable continua puede tomar valores en intervalos. Su densidad representa concentración de probabilidad por unidad; la probabilidad de un intervalo es el área bajo esa curva.

En la mañana A,

\[ (0,2,3,4,6)-3=(-3,-1,0,1,3). \]

Cada desviación negativa tiene una contraparte positiva. En la mañana B,

\[ (2,2,2,2,7)-3=(-1,-1,-1,-1,4), \]

de modo que una desviación positiva larga compensa cuatro desviaciones negativas cortas. Diremos que B tiene asimetría a la derecha o positiva. La cola indica la dirección de la asimetría, no el lado donde se acumulan más observaciones.4

4 Una cola es la región alejada del centro hacia valores pequeños o grandes. “Cola derecha larga” no significa que la mayoría de los datos estén a la derecha, sino que la extensión o probabilidad extrema es mayor en esa dirección.

Es común usar la posición relativa de media y mediana como pista. En B, \(\bar x=3>\operatorname{Med}(x)=2\), porque el 7 atrae a la media hacia la derecha. No es un teorema universal: distribuciones complejas pueden violar esa regla. La forma debe inspeccionarse gráficamente y no inferirse solo a partir de dos resúmenes.

2.2 Colas y observaciones alejadas

Las colas describen lo que ocurre lejos de la región central. Dos distribuciones simétricas pueden compartir media y varianza y, aun así, asignar probabilidades muy diferentes a resultados extremos. Esto importa cuando se estudian tiempos de espera inusuales, pérdidas, fallas o anomalías.

En una muestra pequeña no puede observarse literalmente el comportamiento infinito de una cola. Sí pueden verse señales: máximos muy separados, cuantiles extremos,5 sensibilidad de los momentos altos y desviaciones en un gráfico Q–Q. Hablar de “colas pesadas” a partir de cinco datos debe entenderse como una hipótesis para investigar, no como una conclusión definitiva.

5 El cuantil de nivel \(p\) es un valor que deja aproximadamente una proporción \(p\) de observaciones por debajo. La mediana es el cuantil \(0.5\).

2.3 Modos y mezclas

Un modo es una región de alta frecuencia o densidad.6 Una distribución con dos concentraciones visibles es bimodal. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si se mezclan pedidos sencillos y pedidos que requieren preparación especial. La bimodalidad no equivale a asimetría: una distribución puede ser bimodal y simétrica.

6 En datos discretos, un modo es un valor de frecuencia máxima. En una distribución continua se habla de máximos locales de la densidad; su estimación depende del suavizado y del tamaño muestral.

ImportanteLa forma tiene varias dimensiones

Asimetría, colas y modalidad responden preguntas distintas. Ningún número único reconstruye toda la distribución. Las medidas complementan al histograma, al diagrama de puntos, a la ECDF y al gráfico Q–Q; no los sustituyen.

3 Del dibujo al cálculo: la mañana B

Trabajaremos a mano con

\[ x=(2,2,2,2,7),\qquad n=5,\qquad \bar x=3. \]

La tabla organiza todas las operaciones. Las potencias impares conservan el signo de la desviación; las pares lo eliminan.

\(x_i\) \(d_i=x_i-\bar x\) \(d_i^2\) \(d_i^3\) \(d_i^4\)
2 -1 1 -1 1
2 -1 1 -1 1
2 -1 1 -1 1
2 -1 1 -1 1
7 4 16 64 256
Suma 0 20 60 260

3.1 Por qué el cubo detecta dirección

El tercer momento central es

\[ m_3=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^3 =\frac{60}{5}=12. \]

Las desviaciones a la izquierda aportan números negativos y las de la derecha, positivos. Además, el cubo da mucho más peso a \(4\) que a \(1\): \(4^3=64\). El signo positivo concuerda con la extensión hacia la derecha.

El valor 12 está en minutos cúbicos y cambiaría al convertir unidades. Para obtener una medida sin unidades se divide por la escala al cubo:

\[ g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}} =\frac{12}{4^{3/2}} =\frac{12}{8}=1.5. \tag{1} \]

En la mañana A, los cubos se cancelan por pares:

\[ (-3)^3+(-1)^3+0^3+1^3+3^3=0, \]

por lo que \(g_1=0\). Así logramos distinguir dos conjuntos que tenían la misma media y la misma escala.

3.2 Por qué la cuarta potencia detecta alejamiento

El cuarto momento central de B es

\[ m_4=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^4 =\frac{260}{5}=52. \]

Como la cuarta potencia siempre es no negativa, no mide dirección. Su efecto es amplificar las observaciones alejadas: la desviación \(4\) aporta \(4^4=256\), mientras que cada desviación de magnitud \(1\) aporta solo 1.

La curtosis de Pearson estandariza con la varianza al cuadrado:

\[ b_2=\frac{m_4}{m_2^2} =\frac{52}{4^2}=3.25. \tag{2} \]

La distribución normal tiene curtosis poblacional 3. Por eso también se usa el exceso de curtosis de Fisher:

\[ g_2=b_2-3=3.25-3=0.25. \tag{3} \]

Restar 3 solo cambia el punto de referencia; no cambia la información. En particular, “curtosis 3” y “exceso 0” describen la misma referencia normal.

AdvertenciaCurtosis no significa simplemente “altura del pico”

La curtosis es el promedio de la cuarta potencia de las desviaciones estandarizadas. Por ello responde con fuerza a observaciones alejadas y al comportamiento de las colas. La altura central puede cambiar también, pero no existe una correspondencia única entre “pico alto” y curtosis alta. Interpretar la curtosis solo como apuntamiento puede llevar a conclusiones equivocadas.

4 Formalización mediante momentos

Sea \(X\) una variable aleatoria numérica7 con media \(\mu=\mathbb E[X]\). Cuando las esperanzas existen, se distinguen:

7 Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado posible de un fenómeno incierto. Su esperanza \(\mathbb E[X]\) es un promedio teórico ponderado por probabilidades.

\[ \text{momento respecto al origen:} \qquad \mu'_r=\mathbb E[X^r], \]

\[ \text{momento central:} \qquad \mu_r=\mathbb E[(X-\mu)^r]. \tag{4} \]

Los primeros momentos centrales ayudan a leer la construcción:

  • \(\mu_1=0\), porque las desviaciones respecto de la media se compensan;
  • \(\mu_2=\sigma^2\), la varianza poblacional;
  • \(\mu_3\) conserva dirección, pero depende de la unidad al cubo;
  • \(\mu_4\) pondera intensamente el alejamiento y depende de la unidad a la cuarta potencia.

Si \(0<\sigma^2<\infty\), los momentos estandarizados tercero y cuarto son

\[ \gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}, \qquad \beta_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}, \qquad \gamma_2=\beta_2-3. \tag{5} \]

\(\gamma_1\) es la asimetría poblacional, \(\beta_2\) la curtosis de Pearson y \(\gamma_2\) el exceso de Fisher. Si la variable es constante, \(\sigma=0\) y estas razones no están definidas: no se debe reportar cero como si hubiese una forma estimable.

4.1 Propiedades que aclaran la interpretación

Si \(Y=a+bX\), con \(b\neq0\), entonces

\[ \mu_r(Y)=b^r\mu_r(X), \qquad \sigma_Y=|b|\sigma_X. \]

Por tanto,

\[ \gamma_1(Y)=\operatorname{sign}(b)\gamma_1(X), \qquad \beta_2(Y)=\beta_2(X). \tag{6} \]

Sumar una constante o cambiar de minutos a segundos con un factor positivo no altera asimetría ni curtosis. Reflejar el eje, \(b<0\), invierte el signo de la asimetría y conserva la curtosis.

Si una distribución es simétrica y su tercer momento existe, entonces \(\mu_3=0\). El recíproco es falso: asimetría cero no garantiza simetría. Por ejemplo, la muestra

\[ (0,0,0,4,5,5,7) \]

tiene media 3 y suma de cubos centrados

\[ 3(-3)^3+1^3+2(2^3)+4^3=-81+1+16+64=0, \]

pero no es simétrica alrededor de 3.

La curtosis poblacional satisface \(\beta_2\ge1\), siempre que la varianza sea positiva y el cuarto momento finito. Se obtiene de

\[ \mathbb E[(X-\mu)^4] \ge \left(\mathbb E[(X-\mu)^2]\right)^2. \]

No hay una cota superior universal: una probabilidad pequeña colocada muy lejos del centro puede hacer crecer el cuarto momento de manera drástica.

4.2 Población, muestra y convenciones de software

Para una colección observada usamos los momentos descriptivos

\[ m_r=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^r, \qquad g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}, \qquad g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3. \tag{7} \]

Si los datos se consideran una muestra de una población, existen correcciones para reducir el sesgo del estimador.8 Una convención frecuente es

8 Un estimador es una regla que usa una muestra para aproximar una cantidad poblacional. Su sesgo es la diferencia entre el valor que produciría en promedio bajo muestreo repetido y el parámetro que intenta estimar.

\[ G_1=\frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1, \qquad n>2, \tag{8} \]

\[ G_2=\frac{n-1}{(n-2)(n-3)} \left[(n+1)g_2+6\right], \qquad n>3. \tag{9} \]

Para la mañana B, \(g_1=1.5\) y \(g_2=0.25\), mientras que las versiones corregidas dan \(G_1\approx2.2361\) y \(G_2=5\). La diferencia es grande porque \(n=5\). Paquetes distintos pueden usar definiciones distintas; el resultado debe acompañarse de la convención y el tamaño muestral (Joanes y Gill 1998).

Las correcciones no convierten cinco observaciones en evidencia abundante. Reducen cierto sesgo bajo un modelo de muestreo, pero las medidas de orden alto siguen siendo inestables en muestras pequeñas.

5 Laboratorio interactivo: cambiar la forma

El laboratorio parte de la mañana B. Mueva cada observación o compare los escenarios preparados. Observe que “simétrica” y “asimétrica a la derecha” tienen la misma media y la misma desviación, mientras que “misma forma, otra escala” conserva \(g_1\) y \(g_2\) aunque duplica la desviación estándar.

Explorador de forma de cinco tiempos de espera

Cada control mueve una observación. La línea azul es la media y la naranja discontinua es la mediana.

Media
Mediana
Desviación √m₂
Asimetría g₁
Curtosis b₂
Exceso g₂
mediamediana

6 Curtosis y colas: una comparación controlada

Para aislar la forma, compare tres modelos simétricos con media 0 y varianza 1:

Distribución Exceso de curtosis Comportamiento cualitativo de las colas
Normal estándar \(0\) decrecimiento rápido, proporcional a \(e^{-x^2/2}\) en la densidad
Laplace estandarizada \(3\) decrecimiento exponencial en \(\lvert x\rvert\)
\(t\) de Student con 5 grados de libertad, estandarizada \(6\) decrecimiento polinómico

Las tres son simétricas y tienen la misma varianza. La diferencia está en cuánta probabilidad conservan lejos del centro. La \(t_5\) genera extremos con mayor frecuencia que la normal; esto se refleja en una curtosis mayor. La comparación funciona porque estamos examinando familias completas, no porque la curtosis permita reconstruir por sí sola todas sus colas.

Dos distribuciones pueden tener la misma curtosis y formas diferentes. Además, si \(\mathbb E[(X-\mu)^4]\) no existe, la curtosis poblacional es infinita o no está definida, aunque un programa siempre produzca algún número finito para una muestra finita.

7 Gráficos que completan las medidas

7.1 Histograma, densidad y ECDF

El histograma muestra acumulaciones, huecos y posibles modos, pero cambia con el ancho y origen de los intervalos. Una estimación de densidad suaviza la forma y depende de un parámetro de suavizado. La función de distribución empírica (ECDF)9 evita intervalos y conserva cada observación, aunque los modos son menos visibles.

9 La función de distribución empírica en \(t\) es la proporción de observaciones menores o iguales que \(t\). Es una función escalonada que no requiere elegir intervalos ni parámetros de suavizado.

Conviene observar más de una representación. Una asimetría numérica elevada puede provenir de una cola gradual, de un solo dato erróneo o de mezclar dos grupos; las acciones analíticas serían distintas.

7.2 Gráfico Q–Q

Un gráfico Q–Q enfrenta los cuantiles observados con los cuantiles de una distribución de referencia.10 Si los datos son compatibles con una versión trasladada y escalada de esa referencia, los puntos siguen aproximadamente una recta. La pendiente refleja escala y el intercepto localización; curvaturas sistemáticas revelan diferencias de forma.

10 Un cuantil–cuantil (Q–Q) empareja cuantiles ordenados de los datos con cuantiles de una distribución de referencia. No compara frecuencias de barras, sino posiciones equivalentes dentro de ambas distribuciones.

En un Q–Q normal:

  • separación fuerte en ambos extremos sugiere colas distintas de la normal;
  • una desviación más intensa en un solo extremo sugiere asimetría;
  • escalones o grupos pueden revelar redondeo, discreción o mezclas.

La rectitud no demuestra normalidad, sobre todo con pocas observaciones. Es una comprobación visual que debe acompañarse de conocimiento del proceso y tamaño muestral.

8 Transformar cambia la forma y la pregunta

Para datos estrictamente positivos con asimetría derecha, una transformación logarítmica puede comprimir valores grandes:

\[ y_i=\log(x_i). \]

Esto puede facilitar una visualización o estabilizar relaciones multiplicativas, pero el análisis deja de estar en la escala original. Una diferencia de una unidad en \(\log x\) representa una razón multiplicativa en \(x\), no una diferencia aditiva.

Las transformaciones monótonas11 preservan el orden, pero no preservan distancias, media, varianza, asimetría ni curtosis. Por ello no se debe “normalizar” una variable automáticamente solo para reducir \(g_1\). Antes hay que preguntar:

11 Una transformación es monótona creciente si conserva el orden: \(x_i<x_j\Rightarrow f(x_i)<f(x_j)\). El logaritmo es creciente para valores positivos.

  1. ¿La nueva escala tiene sentido para el fenómeno?
  2. ¿Los ceros y valores negativos están tratados explícitamente?
  3. ¿La transformación se aprende y aplica dentro del mismo pipeline?
  4. ¿Las predicciones pueden regresar a la escala original sin introducir una interpretación engañosa?

9 Implementación reproducible

La función siguiente hace explícita la convención de momentos con divisor \(n\). También calcula las correcciones de las Ecs. 8 y 9 para mostrar por qué dos bibliotecas pueden entregar cifras distintas.

Mostrar código 
import numpy as np
import pandas as pd

def medidas_forma(valores):
    x = np.asarray(valores, dtype=float)
    if x.ndim != 1 or x.size == 0 or not np.isfinite(x).all():
        raise ValueError("Se requiere un vector no vacío de valores finitos.")

    n = x.size
    media = x.mean()
    desviaciones = x - media
    m2 = np.mean(desviaciones**2)
    m3 = np.mean(desviaciones**3)
    m4 = np.mean(desviaciones**4)

    if m2 == 0:
        g1 = g2 = G1 = G2 = np.nan
    else:
        g1 = m3 / m2**1.5
        g2 = m4 / m2**2 - 3
        G1 = np.sqrt(n * (n - 1)) / (n - 2) * g1 if n > 2 else np.nan
        G2 = ((n - 1) / ((n - 2) * (n - 3))
              * ((n + 1) * g2 + 6)) if n > 3 else np.nan

    return pd.Series({
        "n": n,
        "media": media,
        "mediana": np.median(x),
        "sqrt(m2)": np.sqrt(m2),
        "g1_momentos": g1,
        "G1_corregida": G1,
        "b2_Pearson": g2 + 3 if np.isfinite(g2) else np.nan,
        "g2_exceso": g2,
        "G2_corregido": G2,
    })

escenarios = {
    "Simétrica": [0, 2, 3, 4, 6],
    "Cola derecha": [2, 2, 2, 2, 7],
    "Cola izquierda": [0, 5, 5, 5, 5],
    "Misma forma, otra escala": [2, 2, 2, 2, 12],
    "Bimodal": [1, 1, 3, 5, 5],
}

resumen_forma = pd.DataFrame({
    nombre: medidas_forma(datos)
    for nombre, datos in escenarios.items()
}).T

resumen_forma.round(4)
n media mediana sqrt(m2) g1_momentos G1_corregida b2_Pearson g2_exceso G2_corregido
Simétrica 5.0 3.0 3.0 2.0000 0.0 0.0000 2.05 -0.95 0.2
Cola derecha 5.0 3.0 2.0 2.0000 1.5 2.2361 3.25 0.25 5.0
Cola izquierda 5.0 4.0 5.0 2.0000 -1.5 -2.2361 3.25 0.25 5.0
Misma forma, otra escala 5.0 4.0 2.0 4.0000 1.5 2.2361 3.25 0.25 5.0
Bimodal 5.0 3.0 3.0 1.7889 0.0 0.0000 1.25 -1.75 -3.0

9.1 Las formas completas detrás de los momentos

Las funciones de distribución empírica siguientes utilizan los mismos cinco escenarios de la tabla. Los escalones permiten comprobar dónde se acumulan o se separan sus observaciones.

Mostrar código 
import plotly.express as px
from IPython.display import HTML, display

def mostrar_plotly(figura):
    """Incrusta Plotly sin cargar una segunda versión de MathJax."""
    display(HTML(figura.to_html(
        full_html=False,
        include_plotlyjs="cdn",
        include_mathjax=False,
    )))

forma_larga = pd.DataFrame([
    {"Escenario": nombre, "Valor": valor}
    for nombre, valores in escenarios.items()
    for valor in valores
])

fig = px.ecdf(
    forma_larga,
    x="Valor",
    facet_col="Escenario",
    facet_col_wrap=3,
    markers=True,
    title="Mismo centro o escala no implica la misma forma",
)
fig.for_each_annotation(lambda a: a.update(text=a.text.split("=")[-1]))
fig.update_layout(showlegend=False)
mostrar_plotly(fig)
ImportanteDel cálculo al programa

El algoritmo necesita primero la media y después las potencias de las desviaciones. La estandarización divide \(m_3\) por \(m_2^{3/2}\) y \(m_4\) por \(m_2^2\). En datos reales se debe definir antes cómo tratar valores faltantes, ponderaciones y grupos; eliminarlos silenciosamente cambia la distribución analizada.

10 Qué implica la forma en minería de datos

Situación Por qué importa la forma Acción razonable
Imputación La media se desplaza hacia colas largas. Comparar media, mediana y distribución por grupos antes de imputar.
Detección de anomalías Una regla basada en desviaciones estándar confunde colas pesadas con errores. Usar cuantiles o métodos robustos y validar con el contexto.
Modelos lineales La normalidad suele concernir a errores o residuos, no a cada predictor. Revisar residuos y especificación del modelo; no transformar por rutina.
\(k\)-means y distancias Extremos y escalas dominan distancias euclidianas. Estandarizar y considerar escalamiento robusto; la estandarización no elimina asimetría.
Árboles Las divisiones por umbrales toleran transformaciones monótonas del predictor. Aun así, revisar colas, soporte escaso y posibles errores de medición.
Mezclas Dos modos pueden representar subpoblaciones con mecanismos distintos. Estratificar, añadir variables explicativas o modelar la mezcla.

Estandarizar mediante \(z_i=(x_i-\bar x)/s\) centra y cambia la escala, pero, por la Ec. 6, no vuelve simétrica una variable. Estandarizar y normalizar en el sentido de hacer normal una distribución no son la misma operación.

11 Guía de lectura

Pregunta Herramienta principal Precaución
¿Hacia qué lado se extiende la distribución? Histograma/ECDF y \(g_1\) \(g_1=0\) no demuestra simetría.
¿Hay más observaciones extremas que en una referencia? Q–Q, cuantiles extremos y curtosis La curtosis no describe por sí sola toda la cola ni el pico.
¿Hay uno o varios grupos? Histograma, densidad y comparación por grupos Asimetría y curtosis no determinan modalidad.
¿Conviene transformar? Gráficos antes/después y sentido sustantivo de la escala La transformación cambia la pregunta y debe formar parte del pipeline.
¿Puedo comparar software? Definición, \(n\), tratamiento de faltantes Distinguir Pearson/Fisher y momento/corrección muestral.

12 Puente al caso BigMart

El capítulo práctico Medidas de forma en Big Mart Sales traslada esta secuencia a variables comerciales:

  1. observar primero la distribución y sus posibles subgrupos;
  2. comparar centro y escala sin confundirlos con forma;
  3. calcular asimetría y curtosis documentando la convención;
  4. inspeccionar colas con gráficos y cuantiles;
  5. evaluar transformaciones por su significado, no solo por reducir una cifra.

Los datos cambian, pero la pregunta permanece: ¿qué estructura oculta una media y una desviación estándar?

13 Ejercicios formativos

  1. Cálculo completo. Para \(x=(1,1,1,3,4)\), calcule \(\bar x\), \(m_2\), \(m_3\), \(m_4\), \(g_1\), \(b_2\) y \(g_2\). Interprete los signos antes de usar software y luego verifique con medidas_forma.
  2. Reflexión. Construya la variable \(y=10-x\) a partir del ejercicio anterior. Prediga qué ocurrirá con media, desviación, \(g_1\) y \(g_2\), y compruébelo mediante la Ec. 6.
  3. Cero no significa simetría. Verifique que \((0,0,0,4,5,5,7)\) tiene \(g_1=0\). Dibuje sus puntos y explique por qué no es simétrica.
  4. Mismo centro y escala. Compruebe manualmente que las mañanas A y B comparten media y \(m_2\). Proponga una tercera muestra de cinco valores con media 3 y \(m_2=4\), pero con otra forma.
  5. Curtosis no es pico. Simule 10,000 observaciones de una normal, una Laplace con escala \(1/\sqrt2\) y una \(t_5\) multiplicada por \(\sqrt{3/5}\). Compare varianza, exceso de curtosis, histogramas y Q–Q.
  6. Modalidad. Construya una muestra simétrica y bimodal. Muestre que su asimetría puede ser cero y explique qué información no captura \(g_1\).
  7. Decisión de transformación. Elija una variable positiva con asimetría derecha. Compare la escala original y \(\log(x)\). Describa qué cambia en la interpretación de una diferencia de una unidad y justifique cuál escala usaría en un modelo.

Referencias