Autor/a

Diego Villalba

Fecha de publicación

16 de octubre de 2026

1 El problema: cumplir el promedio no basta

Dos equipos entregan ocho pedidos cada uno. En ambos casos, el tiempo medio es de 15.5 minutos:

Pedido ordenado 1 2 3 4 5 6 7 8 Media
Equipo Regular 12 14 15 15 16 16 17 19 15.5
Equipo Irregular 5 8 12 15 16 19 23 26 15.5

Si solo se reporta el promedio, los equipos parecen equivalentes. Sin embargo, para quien espera su pedido no lo son: con el primer equipo casi todos los tiempos están cerca de 15.5; con el segundo pueden ser muy cortos o muy largos.

La variabilidad describe cuánto difieren los valores entre sí o respecto de un centro. Es una propiedad de una variable cuantitativa:1 no basta saber dónde está el centro de la distribución, también importa cuánto se extiende alrededor de él (Tukey 1977; Heckert et al. 2012).

1 Una variable cuantitativa representa cantidades para las que las diferencias numéricas tienen significado. No toda etiqueta codificada con números es cuantitativa: asignar 1, 2 y 3 a tres colores no convierte sus diferencias en distancias.

NotaDos casos que servirán como brújula
  • Si los ocho pedidos tardaran exactamente 15.5 minutos, la variabilidad debería ser cero.
  • Si unos tiempos se alejan del centro mientras otros se acercan de manera que la media no cambia, la variabilidad debería aumentar.

Una buena medida de dispersión debe distinguir estos casos, pero no todas responden igual ante valores extremos ni se expresan en las mismas unidades.

2 Primera mirada: la amplitud total

El rango resta el mínimo al máximo. Si \(x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}\) son los datos ordenados,2

2 \(x_{(i)}\) denota el dato que ocupa la posición \(i\) después de ordenar. Los paréntesis distinguen una posición ordenada de la observación original \(x_i\).

\[ R=x_{(n)}-x_{(1)}. \tag{1} \]

Para el Equipo Regular,

\[ R_R=19-12=7\ \text{minutos}; \]

para el Equipo Irregular,

\[ R_I=26-5=21\ \text{minutos}. \]

El segundo equipo cubre una amplitud tres veces mayor. La conclusión es útil, pero se apoya únicamente en dos observaciones. Si el tiempo 19 del primer equipo fuera un error de captura y en realidad fuera 49, su rango saltaría de 7 a 37 minutos aunque los otros siete tiempos permanecieran intactos.

El rango contesta “¿qué tan separados están los dos extremos?”. No contesta “¿qué tan lejos del centro está un pedido típico?”. Para esa segunda pregunta necesitamos usar todos los datos.

3 De las desviaciones a la varianza

3.1 El obstáculo de los signos

Tomemos los tiempos del Equipo Regular:

\[ x=(12,14,15,15,16,16,17,19). \]

Su suma es 124 y su media es

\[ \bar{x}=\frac{124}{8}=15.5. \]

Una desviación es la distancia con signo \(x_i-\bar{x}\) entre una observación y la media:

\(x_i\) 12 14 15 15 16 16 17 19
\(x_i-15.5\) \(-3.5\) \(-1.5\) \(-0.5\) \(-0.5\) \(0.5\) \(0.5\) \(1.5\) \(3.5\)

Las desviaciones suman cero. Esto no demuestra ausencia de variabilidad: las distancias a la izquierda y a la derecha de la media se cancelan. Elevarlas al cuadrado evita la cancelación y da más peso a las desviaciones grandes:

\(x_i-15.5\) \(-3.5\) \(-1.5\) \(-0.5\) \(-0.5\) \(0.5\) \(0.5\) \(1.5\) \(3.5\)
\((x_i-15.5)^2\) 12.25 2.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2.25 12.25

La suma de cuadrados es

\[ SS=\sum_{i=1}^{8}(x_i-15.5)^2=30\ \text{minutos}^2. \tag{2} \]

La suma crece si hay más observaciones, aunque la dispersión no cambie. Por eso se divide entre una cantidad relacionada con el número de datos. El divisor correcto depende de qué representan esos ocho pedidos.

4 ¿Población completa o muestra?

4.1 Cuando los datos son todo lo que queremos describir

Si esos ocho pedidos son todos los pedidos del turno y la pregunta se limita a describir ese turno, constituyen la población de interés.3 La varianza poblacional es

3 La población es el conjunto completo sobre el que se formula una afirmación. No tiene que ser enorme: los ocho pedidos de un turno son una población si la pregunta se limita exactamente a ese turno.

\[ \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2. \tag{3} \]

donde \(N\) es el tamaño de la población y \(\mu\) su media. Para el turno:

\[ \sigma^2=\frac{30}{8}=3.75\ \text{minutos}^2. \]

La varianza queda en unidades cuadradas porque también lo están sus sumandos. Para regresar a la escala de los datos se extrae la raíz cuadrada:

\[ \sigma=\sqrt{3.75}=1.9365\ \text{minutos}. \tag{4} \]

La desviación estándar poblacional es, por tanto, de aproximadamente 1.94 minutos.

4.2 Cuando los datos pretenden representar más casos

Si los ocho pedidos son una muestra aleatoria de todos los pedidos que el equipo podría atender, \(\bar{x}\) y \(s^2\) son estadísticos usados para estimar parámetros desconocidos de una población mayor.4 La varianza muestral usual es

4 Un parámetro es una característica fija pero posiblemente desconocida de una población, como \(\mu\) o \(\sigma^2\). Un estadístico se calcula con una muestra, como \(\bar{x}\) o \(s^2\), y cambia de una muestra a otra.

\[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2. \tag{5} \]

En el ejemplo,

\[ s^2=\frac{30}{8-1}=4.2857\ \text{minutos}^2, \qquad s=\sqrt{4.2857}=2.0702\ \text{minutos}. \]

No cambiaron los datos ni la suma de cuadrados: cambió la finalidad. Dividir entre \(n\) describe exactamente la colección observada; dividir entre \(n-1\) produce, bajo muestreo independiente de una población con varianza finita, un estimador insesgado de \(\sigma^2\) (Freedman et al. 2007).5

5 Un estimador es insesgado si, al imaginar todas las muestras posibles obtenidas bajo el mismo diseño, el promedio de sus estimaciones coincide con el parámetro. No garantiza que una muestra particular produzca el valor exacto.

4.3 ¿De dónde sale el grado de libertad perdido?

Una vez calculada \(\bar{x}\), las desviaciones cumplen

\[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0. \]

Si conocemos \(n-1\) desviaciones, la última ya no puede variar libremente: debe ser el número que haga cero la suma. Quedan \(n-1\) grados de libertad.6 La llamada corrección de Bessel compensa además que la media muestral fue ajustada con los mismos datos y hace a \(s^2\) insesgada. Esto no significa que \(s\) sea insesgada ni que siempre deba dividirse entre \(n-1\).

6 Los grados de libertad cuentan cuántas cantidades pueden variar independientemente después de imponer restricciones. Aquí hay \(n\) desviaciones y una restricción lineal —que sumen cero—, por lo que quedan \(n-1\).

AdvertenciaUna convención no se elige por el tamaño del archivo

No use \(n-1\) solo porque hay pocos datos ni \(n\) solo porque hay muchos. Primero defina el universo de la afirmación: “estos ocho pedidos” pide descripción poblacional; “el desempeño futuro del equipo” plantea una inferencia desde una muestra y requiere, además, justificar cómo se obtuvieron los pedidos.

5 Misma media, diferente variabilidad

Para el Equipo Irregular, la media también es 15.5, pero

\[ \begin{aligned} SS_I &=(-10.5)^2+(-7.5)^2+(-3.5)^2+(-0.5)^2\\ &\quad +(0.5)^2+(3.5)^2+(7.5)^2+(10.5)^2\\ &=358. \end{aligned} \]

Si los ocho pedidos son la población de cada turno,

\[ \sigma_I^2=\frac{358}{8}=44.75, \qquad \sigma_I=\sqrt{44.75}=6.6895\ \text{minutos}. \]

La tabla reúne lo aprendido:

Medida poblacional Equipo Regular Equipo Irregular
Media 15.5 min 15.5 min
Rango 7 min 21 min
Varianza 3.75 min\(^2\) 44.75 min\(^2\)
Desviación estándar 1.94 min 6.69 min

La media no distingue los equipos; las tres medidas de variabilidad sí. La desviación estándar suele ser más fácil de comunicar que la varianza porque está en minutos, pero la varianza es central en muchos algoritmos por sus propiedades algebraicas.

NotaCómo leer una desviación estándar

\(\sigma=1.94\) minutos no significa que todos los pedidos estén a 1.94 minutos de la media ni que sea la distancia absoluta promedio. Es la raíz del promedio de distancias cuadradas. Si la distribución fuera aproximadamente normal, alrededor del 68% de los valores caería entre \(\mu-\sigma\) y \(\mu+\sigma\); esa regla no se traslada automáticamente a distribuciones sesgadas o multimodales.7

7 La distribución normal es un modelo continuo, simétrico y con forma de campana determinado por su media y varianza. La regla 68% es una propiedad de ese modelo, no una definición de desviación estándar.

6 Laboratorio: mover los pedidos y observar las medidas

Laboratorio de tiempos de entrega

Mueva cualquier pedido o cargue un escenario. La línea azul marca la media y la naranja la mediana.

Media
Rango
Varianza poblacional
Desv. estándar poblacional
IQR (mitades)
MAD

7 Variabilidad del centro: IQR y MAD

La varianza y la desviación estándar usan todos los valores y reaccionan con fuerza a un extremo porque elevan las desviaciones al cuadrado. Cuando hay colas largas, errores o eventos extraordinarios, conviene acompañarlas con medidas robustas.8

8 Una medida es robusta si una fracción pequeña de observaciones atípicas no puede alterarla arbitrariamente. Robustez no significa insensibilidad total ni garantiza que el dato extremo sea erróneo.

7.1 Intervalo intercuartílico

Los cuartiles \(Q_1\) y \(Q_3\) dejan aproximadamente 25% y 75% de los datos a su izquierda. El intervalo intercuartílico es

\[ IQR=Q_3-Q_1. \tag{6} \]

Para evitar ambigüedad, usaremos el método de medianas de las mitades: con un número par de datos, \(Q_1\) es la mediana de la mitad inferior y \(Q_3\) la de la mitad superior.9

9 Existen varias definiciones válidas de cuartiles porque una muestra finita no determina de manera única los percentiles entre posiciones. El software puede interpolar y producir valores distintos. Debe declararse el método al reproducir resultados (Hyndman y Fan 1996).

En el Equipo Regular,

\[ L=(12,14,15,15),\qquad U=(16,16,17,19), \]

\[ Q_1=\frac{14+15}{2}=14.5, \qquad Q_3=\frac{16+17}{2}=16.5, \]

\[ IQR=16.5-14.5=2\ \text{minutos}. \]

Así, la mitad central de los tiempos ocupa un intervalo de 2 minutos. Para el Equipo Irregular, \(Q_1=10\), \(Q_3=21\) e \(IQR=11\) minutos.

La regla de Tukey identifica como candidatos a valores atípicos los que caen fuera de

\[ [Q_1-1.5IQR,\;Q_3+1.5IQR]. \tag{7} \]

Para el Equipo Regular los límites son

\[ [14.5-1.5(2),\;16.5+1.5(2)]=[11.5,19.5]. \]

Ningún tiempo queda fuera. La regla es una señal de investigación, no una orden para borrar observaciones (Tukey 1977). Un retraso puede ser real y contener información operacional importante.

7.2 Desviación absoluta mediana

La MAD (median absolute deviation) reemplaza la media por la mediana y los cuadrados por distancias absolutas:

\[ MAD=\operatorname{mediana}_i\{|x_i-\tilde{x}|\}, \tag{8} \]

donde \(\tilde{x}\) es la mediana. Para el Equipo Regular,

\[ \tilde{x}=\frac{15+16}{2}=15.5 \]

y las distancias absolutas ordenadas son

\[ (0.5,0.5,0.5,0.5,1.5,1.5,3.5,3.5). \]

Por tanto,

\[ MAD=\frac{0.5+1.5}{2}=1\ \text{minuto}. \]

Si se desea una escala comparable con la desviación estándar bajo una distribución normal, se usa con frecuencia

\[ MAD_N=1.4826\,MAD=1.4826\ \text{minutos}. \tag{9} \]

La constante no vuelve normales a los datos: solo calibra la medida bajo ese modelo (Rousseeuw y Croux 1993). En datos discretos o con muchos empates, la MAD puede ser cero aunque no todos los valores sean iguales.

7.3 Un retraso extremo

Compare el turno regular con \(x^*=(12,14,15,15,16,16,17,45)\), donde solo el último tiempo cambió:

Medida poblacional Turno regular Con retraso extremo Cambio
Media 15.50 18.75 +3.25
Desviación estándar 1.94 10.02 +8.09
Rango 7.00 33.00 +26.00
IQR 2.00 2.00 0.00
MAD 1.00 1.00 0.00

IQR y MAD no “ignoran” por definición los valores extremos: su resistencia proviene de posiciones centrales y puede desaparecer si la contaminación alcanza una fracción suficiente de los datos. Por eso se reportan junto con la distribución y no como sustitutos automáticos de toda medida clásica.

8 Comparar variabilidad entre escalas

Suponga que otro proceso registra tiempos en segundos. Su desviación estándar será 60 veces mayor aunque la regularidad física sea la misma. Las medidas en unidades originales no permiten comparar directamente variables con escalas muy distintas.

El coeficiente de variación mide dispersión relativa:

\[ CV=\frac{\sigma}{|\mu|} \quad\text{o, en una muestra,}\quad CV_m=\frac{s}{|\bar{x}|}. \tag{10} \]

Para el turno regular considerado como población,

\[ CV=\frac{1.9365}{15.5}=0.1249=12.49\%. \]

Para el turno irregular,

\[ CV=\frac{6.6895}{15.5}=0.4316=43.16\%. \]

El segundo turno tiene una dispersión equivalente a 43.16% de su media. El CV es adimensional y no cambia al convertir minutos a segundos, pero solo es interpretable en escalas de razón con cero absoluto.10 No debe emplearse si la media es cero o cercana a cero; tampoco para comparar temperaturas en grados Celsius, cuyo cero es convencional.

10 Una escala de razón posee un cero que significa ausencia de la cantidad, por lo que afirmaciones como “el doble” tienen sentido. Kelvin, masa y duración la poseen; Celsius no, porque su cero es un punto convencional.

9 Formalización y propiedades

Sea \(X\) una variable aleatoria numérica con media \(\mu=\mathbb{E}[X]\) y segundo momento finito. Su varianza se define como

\[ \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\!\left[(X-\mu)^2\right] =\mathbb{E}[X^2]-\mu^2. \tag{11} \]

La segunda igualdad se obtiene al expandir el cuadrado y usar la linealidad de la esperanza. La desviación estándar es

\[ \operatorname{SD}(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. \tag{12} \]

Estas definiciones implican propiedades que una implementación debe respetar:

  1. \(\operatorname{Var}(X)\ge0\) y vale cero exactamente cuando \(X\) es constante con probabilidad uno.
  2. Sumar una constante cambia la ubicación, no la dispersión: \(\operatorname{Var}(X+b)=\operatorname{Var}(X)\).
  3. Cambiar la escala multiplica la varianza por el cuadrado: \(\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)\).
  4. En consecuencia, \(\operatorname{SD}(aX+b)=|a|\operatorname{SD}(X)\); la desviación estándar conserva las unidades originales.

Para \(a=60\), convertir minutos a segundos multiplica la varianza por 3600 y la desviación estándar por 60. En cambio, \(CV\) permanece igual si \(a>0\) porque numerador y denominador reciben el mismo factor.

AdvertenciaVariabilidad observada no equivale a incertidumbre de la media

La desviación estándar describe diferencias entre observaciones. El error estándar de la media describe cuánto variaría \(\bar{x}\) entre muestras del mismo tamaño; bajo observaciones independientes es \(s/\sqrt{n}\). Son preguntas distintas y no deben intercambiarse.11

11 El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral de un estimador. Cuantifica incertidumbre inferencial, no la dispersión individual de los datos.

10 Implementación reproducible

La función siguiente hace explícitas dos decisiones que a menudo quedan ocultas: si se usa divisor poblacional o muestral, y cómo se calculan los cuartiles.

Mostrar código 
import numpy as np
import pandas as pd

def mediana(valores):
    valores = np.sort(np.asarray(valores, dtype=float))
    n = valores.size
    mitad = n // 2
    return valores[mitad] if n % 2 else (valores[mitad - 1] + valores[mitad]) / 2

def cuartiles_mitades(valores):
    valores = np.sort(np.asarray(valores, dtype=float))
    n = valores.size
    mitad = n // 2
    inferior = valores[:mitad]
    superior = valores[mitad + 1:] if n % 2 else valores[mitad:]
    return mediana(inferior), mediana(superior)

def resumen_variabilidad(valores, tipo="poblacion"):
    x = np.asarray(valores, dtype=float)
    if x.ndim != 1 or x.size < 2 or not np.isfinite(x).all():
        raise ValueError("Se requieren al menos dos valores finitos.")
    if tipo not in {"poblacion", "muestra"}:
        raise ValueError("tipo debe ser 'poblacion' o 'muestra'.")

    ddof = 0 if tipo == "poblacion" else 1
    centro = x.mean()
    centro_robusto = mediana(x)
    q1, q3 = cuartiles_mitades(x)
    desviacion = x.std(ddof=ddof)
    cv = desviacion / abs(centro) if centro != 0 else np.nan

    return pd.Series({
        "n": x.size,
        "media": centro,
        "rango": x.max() - x.min(),
        "varianza": x.var(ddof=ddof),
        "desviación estándar": desviacion,
        "Q1": q1,
        "Q3": q3,
        "IQR": q3 - q1,
        "MAD": mediana(np.abs(x - centro_robusto)),
        "CV": cv,
    })

regular = np.array([12, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 19])
irregular = np.array([5, 8, 12, 15, 16, 19, 23, 26])

pd.DataFrame({
    "Regular (población)": resumen_variabilidad(regular, "poblacion"),
    "Regular (muestra)": resumen_variabilidad(regular, "muestra"),
    "Irregular (población)": resumen_variabilidad(irregular, "poblacion"),
}).round(4)
Regular (población) Regular (muestra) Irregular (población)
n 8.0000 8.0000 8.0000
media 15.5000 15.5000 15.5000
rango 7.0000 7.0000 21.0000
varianza 3.7500 4.2857 44.7500
desviación estándar 1.9365 2.0702 6.6895
Q1 14.5000 14.5000 10.0000
Q3 16.5000 16.5000 21.0000
IQR 2.0000 2.0000 11.0000
MAD 1.0000 1.0000 5.5000
CV 0.1249 0.1336 0.4316

10.1 Ver la dispersión antes de resumirla

Un gráfico de puntos conserva los ocho valores y deja visible que ambos equipos comparten centro. El resumen numérico explica luego cuánto difieren.

Mostrar código 
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3.2))
for y, (nombre, valores, color) in enumerate([
    ("Regular", regular, "#2563eb"),
    ("Irregular", irregular, "#d97706"),
]):
    ax.scatter(valores, np.full(valores.size, y), s=75, color=color,
               edgecolor="white", linewidth=0.8, label=nombre)

ax.axvline(15.5, color="#334155", linestyle="--", linewidth=1.5,
           label="Media común = 15.5")
ax.set(yticks=[0, 1], yticklabels=["Regular", "Irregular"],
       xlabel="Tiempo de entrega (minutos)",
       title="Mismo centro, diferente dispersión")
ax.grid(axis="x", alpha=0.25)
ax.legend(frameon=False, loc="upper center", ncol=3)
plt.tight_layout()
plt.show()

10.2 Sensibilidad frente a un extremo

Ahora conservamos siete tiempos y desplazamos solo el octavo. Esta simulación traduce a código el experimento del laboratorio.

Mostrar código 
base = np.array([12, 14, 15, 15, 16, 16, 17])
filas = []
for ultimo in range(17, 51):
    x = np.append(base, ultimo)
    resumen = resumen_variabilidad(x, "poblacion")
    for medida in ["desviación estándar", "IQR", "MAD"]:
        filas.append({
            "Último tiempo": ultimo,
            "Medida": medida,
            "Valor": resumen[medida],
        })

sensibilidad = pd.DataFrame(filas)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.2))
for medida, grupo in sensibilidad.groupby("Medida", sort=False):
    ax.plot(grupo["Último tiempo"], grupo["Valor"], linewidth=2,
            label=medida)
ax.set(xlabel="Tiempo del octavo pedido (minutos)",
       ylabel="Dispersión (minutos)",
       title="Una observación extrema no mueve igual todas las medidas")
ax.grid(alpha=0.25)
ax.legend(frameon=False)
plt.tight_layout()
plt.show()

El gráfico no declara que una medida sea siempre superior. Si interesa modelar variación cuadrática alrededor de la media, la desviación estándar responde a la pregunta correcta. Si interesa el comportamiento central bajo contaminación, IQR o MAD suelen describirlo mejor (Huber y Ronchetti 2009).

10.3 Qué observaciones aportan la variación

El siguiente diagrama conserva los dieciséis tiempos y muestra la contribución cuadrática de cada pedido respecto de la media común de 15.5 minutos.

Mostrar código 
import plotly.express as px
from IPython.display import HTML, display

def mostrar_plotly(figura):
    """Incrusta Plotly sin cargar una segunda versión de MathJax."""
    display(HTML(figura.to_html(
        full_html=False,
        include_plotlyjs="cdn",
        include_mathjax=False,
    )))

aportes_variabilidad = pd.concat([
    pd.DataFrame({
        "Pedido": np.arange(1, regular.size + 1),
        "Equipo": "Regular",
        "Tiempo": regular,
        "Aporte cuadrático": (regular - regular.mean()) ** 2,
    }),
    pd.DataFrame({
        "Pedido": np.arange(1, irregular.size + 1),
        "Equipo": "Irregular",
        "Tiempo": irregular,
        "Aporte cuadrático": (irregular - irregular.mean()) ** 2,
    }),
])

fig = px.bar(
    aportes_variabilidad,
    x="Pedido",
    y="Aporte cuadrático",
    color="Equipo",
    barmode="group",
    hover_data={"Tiempo": True, "Aporte cuadrático": ":.2f"},
    title="Los pedidos alejados del centro dominan la suma de cuadrados",
)
fig.update_layout(
    xaxis_title="Posición del pedido ordenado",
    yaxis_title="(tiempo − 15.5)²",
)
mostrar_plotly(fig)

11 Guía de decisión

Pregunta Medida principal Unidades Precaución
¿Qué distancia hay entre extremos? Rango Originales Usa solo dos valores y suele crecer con \(n\).
¿Cuál es la variación cuadrática alrededor de la media? Varianza Cuadradas Sensible a extremos; distinguir \(N\) de \(n-1\).
¿Cuál es la escala típica de variación alrededor de la media? Desviación estándar Originales No es una distancia absoluta promedio.
¿Qué amplitud ocupa el 50% central? IQR Originales Depende de la convención de cuartiles.
¿Cuál es la desviación central resistente? MAD Originales Puede valer cero con muchos empates.
¿Qué tan grande es la dispersión respecto de la media? CV Ninguna Exige escala de razón y media alejada de cero.

En un análisis responsable, la elección nace de la pregunta y del mecanismo de datos. No se selecciona la cifra más pequeña ni se elimina un extremo solo para reducir la variabilidad.

12 Puentes con minería de datos

  • Estandarización. Transformar \(z_i=(x_i-\bar{x})/s\) pone variables en una escala comparable, pero transmite la sensibilidad de la media y de \(s\) a valores extremos. Una alternativa robusta usa mediana y MAD.
  • \(k\)-means. La inercia suma distancias cuadradas a centroides; por eso los atributos de gran escala y los extremos pueden dominar la partición.
  • Detección de anomalías. Una regla basada en \(z\) presupone que media y desviación estándar resumen bien la distribución. Cercas de Tukey o puntajes basados en MAD son alternativas exploratorias, no pruebas automáticas de error.
  • Validación de modelos. La media de un error no basta: su variabilidad entre particiones o periodos revela estabilidad. Debe distinguirse esa dispersión del error estándar de la media.

13 Puente al caso BigMart

El capítulo Medidas de variabilidad en Big Mart Sales traslada la misma secuencia a ventas, precios, peso y visibilidad:

  1. visualizar primero la distribución y detectar unidades, asimetrías y extremos;
  2. decidir si los registros se describen como colección observada o se usan para inferir sobre una población;
  3. reportar una medida clásica y, cuando corresponda, una robusta;
  4. usar el CV solo en variables con escala de razón y media suficientemente alejada de cero.

Los nombres de las columnas cambian, pero no las preguntas que justifican cada medida.

14 Ejercicios formativos

  1. Cálculo manual. Para \(x=(6,8,8,10,13)\), calcule rango, media, suma de cuadrados, varianza poblacional, varianza muestral y ambas desviaciones estándar. Explique por qué las varianzas tienen unidades cuadradas.
  2. Misma media. Construya dos conjuntos de cinco tiempos con media 20: uno con desviación estándar poblacional menor que 2 y otro mayor que 8. Dibuje ambos en una recta antes de calcular.
  3. Grados de libertad. Proponga cuatro desviaciones respecto de una media. Después de fijar tres, determine la cuarta y explique por qué solo tres son libres.
  4. Cuartiles. Para \((2,3,5,7,8,11,14,30)\) calcule \(Q_1\), \(Q_3\), IQR y las cercas de Tukey con el método de medianas de las mitades. ¿El 30 es un candidato atípico? ¿Eso basta para borrarlo?
  5. Resistencia. Reemplace el 30 del ejercicio anterior por 300. Compare rango, desviación estándar poblacional, IQR y MAD antes y después. Explique por qué no todas cambian en la misma proporción.
  6. Escala relativa. Dos máquinas llenan botellas. La máquina A tiene media 250 ml y \(s=5\) ml; la B, media 1,000 ml y \(s=12\) ml. Compare su variación absoluta y relativa. ¿Cuál es más estable según cada criterio?
  7. Unidades y origen. Demuestre con código que convertir los tiempos del Equipo Regular a segundos multiplica \(s^2\) por \(60^2\), multiplica \(s\) por 60 y deja igual el CV. Explique por qué sumar 273.15 a temperaturas Celsius cambia el CV aunque no cambie su desviación estándar.
  8. Decisión analítica. Una distribución de tiempos tiene fuerte asimetría derecha y varios retrasos reales. Diseñe un reporte con al menos un gráfico, una medida clásica y una robusta. Justifique qué información conserva cada elemento.

Referencias