Método de Euler

Definición

El método de Euler explícito aproxima la solución de un problema de valor inicial avanzando en pasos y usando en cada paso la pendiente evaluada en el punto actual.

Intuición

Una solución de $y^{\prime }=f(t,y)$ sigue localmente su recta tangente. Euler reemplaza un tramo corto de la curva por esa recta y repite el procedimiento desde el nuevo punto aproximado.

Formulación

Para

$$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0,$$

y un tamaño de paso $h>0$,

$$t_{n+1}=t_n+h,y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$$

La fórmula procede de truncar la expansión de Taylor:

$$y(t_n+h)=y(t_n)+h{y}^{\prime }(t_n)+O(h^2).$$

Si la solución es suficientemente regular, el error local de truncamiento es $O(h^2)$ y el error global acumulado en un intervalo fijo es $O(h)$; por eso Euler es un método de primer orden.

Ejemplo mínimo

Para

$$y^{\prime }=y,y(0)=1,$$

con $h=0.1$,

$$y_1=1+0.1(1)=1.1,$$

mientras que la solución exacta da $y(0.1)=e^{0.1}\approx 1.10517$.

Contraejemplo o límites

Un paso menor suele mejorar la aproximación, pero exige más iteraciones. Un paso demasiado grande puede causar errores importantes o inestabilidad; en problemas rígidos, Euler explícito puede requerir pasos imprácticamente pequeños.

Relaciones

• Es una: solución numérica.
• Se deriva mediante: expansión de Taylor.
• Puede aplicarse a: Ley de enfriamiento de Newton.
• Puede aplicarse a: Crecimiento logístico.

Procedencia

• Clase: Modelos de cambio y método de Euler.