Ley de enfriamiento de Newton

Definición

La ley de enfriamiento de Newton modela la temperatura de un cuerpo suponiendo que su rapidez de cambio es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente.

Intuición

Cuanto mayor es la diferencia térmica, más rápido cambia la temperatura. A medida que el cuerpo se acerca a la temperatura ambiente, esa diferencia disminuye y el cambio se vuelve más lento.

Formulación

Si $T(t)$ es la temperatura del cuerpo, $T_a$ es una temperatura ambiente constante y $\kappa >0$ es el coeficiente de transferencia,

$$\frac{dT}{dt}=-\kappa (T-T_a),T(0)=T_0.$$

Su solución es

$$T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-\kappa t}.$$

Por tanto,

$$\underset{t\to \infty }{\lim }T(t)=T_a.$$

La misma ecuación describe calentamiento cuando $T_0<T_a$: el signo de $T-T_a$ hace que $dT/dt>0$.

Ejemplo mínimo

Para un café con $T_0=90{}^{\circ }\mathrm{C}$ en una habitación a $T_a=20{}^{\circ }\mathrm{C}$,

$$T(t)=20+70e^{-\kappa t}.$$

Hace falta al menos una medición adicional $(t_1,T_1)$ para estimar $\kappa$:

$$\kappa =-\frac{1}{t_1}\ln \left(\frac{T_1-20}{70}\right).$$

Contraejemplo o límites

El modelo pierde precisión si la temperatura ambiente varía, si existen cambios de fase, si la radiación domina o si el cuerpo no puede representarse mediante una sola temperatura uniforme.

Relaciones

• Es una aplicación de: Balance de tasas.
• Tiene la misma estructura matemática que: decaimiento exponencial.
• Puede aproximarse con: Método de Euler.
• Es un modelo continuo y determinista según: Clasificación de modelos matemáticos.

Procedencia

• Clase: Modelos de cambio y método de Euler.