Crecimiento logístico

Definición

El crecimiento logístico modela una población cuya tasa per cápita disminuye linealmente conforme aumenta la población y se aproxima a una capacidad de carga.

Intuición

Cuando la población es pequeña respecto de los recursos disponibles, su crecimiento se parece al exponencial. Al aumentar la población, la competencia reduce el crecimiento; cerca de la capacidad de carga, los aumentos y las pérdidas se equilibran.

Supuestos

• La capacidad de carga $K$ es constante.
• La población puede representarse como una variable continua.
• La tasa per cápita disminuye linealmente con $P/K$.
• No hay retrasos, estructura por edades ni variaciones aleatorias explícitas.

Formulación

$$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right),P(0)=P_0.$$

$P(t)$ es la población, $r>0$ la tasa de crecimiento intrínseca con unidades de tiempo${}^{-1}$ y $K>0$ la capacidad de carga con las mismas unidades que $P$.

Los factores tienen papeles distintos:

• $rP$ produce el crecimiento exponencial que ocurriría sin restricciones;
• $1-P/K$ representa la fracción de capacidad todavía disponible.

Solución analítica

Para $P_0>0$,

$$P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}.$$

Equilibrios y comportamiento

Los equilibrios se obtienen de

$$rP\left(1-\frac{P}{K}\right)=0,$$

por lo que son $P^{\ast }=0$ y $P^{\ast }=K$. Para $r>0$, $P=0$ es inestable y $P=K$ es estable:

• si $0<P_0<K$, $P(t)$ crece hacia $K$;
• si $P_0>K$, $P(t)$ decrece hacia $K$;
• si $P_0=K$, permanece constante.

Cuando $0<P_0<K$, la tasa de crecimiento absoluta es máxima en $P=K/2$, punto de inflexión de la curva sigmoide.

Ejemplo mínimo

Si $P_0=100$, $r=0.2$ año${}^{-1}$ y $K=1000$,

$$P(t)=\frac{1000}{1+9e^{-0.2t}}.$$

Al principio la población crece casi exponencialmente, pero a largo plazo se aproxima a $1000$.

Contraejemplo o límites

No es adecuado cuando la capacidad de carga cambia rápidamente, existen retrasos importantes, la población tiene estructura interna relevante o la variabilidad aleatoria domina. La capacidad de carga es un parámetro del modelo, no necesariamente un límite físico fijo y conocido.

Relaciones

• Se formula mediante: Balance de tasas.
• Extiende: Crecimiento exponencial.
• Puede aproximarse con: Método de Euler.
• Puede estudiarse mediante: Experimento computacional.

Procedencia

• Clase: Definición de problemas.
• Clase: Modelos de cambio y método de Euler.