Solución analítica y solución numérica

Definición

Una solución analítica expresa la respuesta mediante una fórmula o relaciones matemáticas exactas. Una solución numérica calcula valores aproximados mediante un algoritmo.

No son enfoques rivales: una solución analítica ayuda a entender el modelo y puede servir para comprobar un método numérico; la numérica permite estudiar modelos cuya solución exacta no existe o no resulta práctica.

Comparación

Criterio	Analítica	Numérica
Resultado	Fórmula o relación exacta	Valores aproximados
Interpretación	Facilita estudiar parámetros y límites	Facilita explorar escenarios concretos
Alcance	Restringido a modelos tratables	Admite modelos más complejos
Error	Puede haber error algebraico o de parámetros	Añade discretización y redondeo
Costo	Se paga principalmente al derivarla	Depende del paso, tamaño y número de ejecuciones

Ejemplo mínimo

Para

$$y^{\prime }=y,y(0)=1,$$

la solución analítica es $y(t)=e^t$. Con Euler y paso $h=0.1$,

$$y_1=y_0+h{y}_0=1.1,$$

mientras que $y(0.1)=e^{0.1}\approx 1.10517$. La diferencia es parte del error numérico.

Criterios numéricos mínimos

• Error: diferencia entre la aproximación y una referencia.
• Convergencia: la aproximación se acerca a la solución al refinar el cálculo.
• Estabilidad: los errores no crecen de manera incontrolada durante el cálculo.
• Costo computacional: tiempo y memoria necesarios para obtener la precisión deseada.

Límites

Una fórmula exacta sigue dependiendo de que el modelo y sus supuestos sean adecuados. Del mismo modo, una simulación con muchos decimales no es necesariamente precisa: debe revisarse su error, estabilidad y convergencia.

Relaciones

• Son formas de resolver un modelo matemático.
• Repetir una solución numérica para muchos escenarios puede formar un experimento computacional.
• Ambas deben interpretarse dentro del ciclo de modelación.

Procedencia

• Clase: Definición de problemas.
• Ejemplo numérico: Modelos de cambio y método de Euler.