Crecimiento exponencial

Definición

El crecimiento exponencial describe una cantidad cuya tasa de cambio instantánea es proporcional a su valor actual. Su tasa relativa de crecimiento permanece constante.

Intuición

Una cantidad mayor produce un incremento absoluto mayor durante el mismo intervalo: el crecimiento se retroalimenta. En una población, más individuos implican más nacimientos si cada individuo mantiene la misma contribución promedio.

Formulación continua

$$\frac{dP}{dt}=rP,P(0)=P_0.$$

$P(t)$ es la cantidad, $P_0$ su valor inicial y $r$ la tasa per cápita, con unidades de tiempo${}^{-1}$. Separando variables,

$$\frac{dP}{P}=rdt⟹\ln P=rt+C,$$

de donde

$$P(t)=P_0{e}^{rt}.$$

Si $r>0$ hay crecimiento; si $r<0$ hay decaimiento; si $r=0$, la cantidad permanece constante.

Formulación discreta

Si la cantidad aumenta una fracción $q$ en cada paso,

$$P_{n+1}=(1+q)P_n,P_n=P_0(1+q{)}^n.$$

La tasa discreta $q$ no es idéntica a la tasa continua $r$. Para que ambos modelos coincidan después de una unidad de tiempo debe cumplirse $1+q=e^r$.

Tiempo de duplicación

Para $r>0$, al resolver $P(t_d)=2P_0$ se obtiene

$$t_d=\frac{\ln 2}{r}.$$

Ejemplo mínimo

Una colonia con $P_0=200$ que aumenta $15\%$ por generación sigue

$$P_n=200(1.15{)}^n.$$

Después de tres generaciones, $P_3\approx 304.18$; según el contexto, el resultado puede redondearse a individuos enteros.

Contraejemplo o límites

El modelo supone una tasa relativa constante y no incorpora recursos limitados, competencia ni cambios ambientales. Por ello suele describir solo una etapa de un proceso real y no un crecimiento indefinido.

Relaciones

• Se formula mediante: Balance de tasas.
• Contrasta con: Crecimiento logístico.
• Comparte estructura con: Ley de enfriamiento de Newton.
• Es un ejemplo de: modelo continuo y determinista.

Procedencia

• Clase: Definición de problemas.
• Clase: Modelos de cambio y método de Euler.