Balance de tasas

Definición

Un balance de tasas describe cómo cambia una cantidad almacenada al contabilizar los procesos que la aumentan y los que la disminuyen:

$$\text{tasa de acumulacioˊn}=\text{tasas de entrada}-\text{tasas de salida}+\text{tasas de generacioˊn}-\text{tasas de consumo}.$$

Intuición

El balance funciona como una contabilidad: una cantidad solo puede cambiar si algo entra, sale, se genera o se consume. Separar esos mecanismos ayuda a asignar signos correctos y a detectar términos ausentes.

Formulación

Si $x(t)$ es la cantidad almacenada,

$$\frac{dx}{dt}=\sum _i{E}_i(t,x)-\sum _j{S}_j(t,x)+G(t,x)-C(t,x).$$

Todos los términos deben tener las mismas unidades que $dx/dt$.

En tiempo discreto, el balance equivalente es

$$x_{n+1}=x_n+\text{entradas del paso}-\text{salidas del paso}+\text{generacioˊn}-\text{consumo}.$$

Ejemplo mínimo

Si entran $8$ L/min a un tanque y sale un volumen por unidad de tiempo igual a $0.3V$, entonces

$$\frac{dV}{dt}=8-0.3V.$$

La entrada es positiva y la fuga negativa. Como $[0.3]={\text{min}}^{-1}$, ambos términos se miden en L/min.

Contraejemplo o límites

El balance no determina por sí solo las expresiones de cada tasa; estas dependen de supuestos físicos o empíricos. Tampoco basta escribir “entrada menos salida” si se omiten fuentes internas, reacciones, retrasos o cambios de volumen relevantes.

Relaciones

• Se utiliza en: Ley de enfriamiento de Newton.
• Se utiliza en: Crecimiento exponencial.
• Se utiliza en: Crecimiento logístico.
• Requiere definir: variables y parámetros del modelo.

Procedencia

• Clase: Modelos de cambio y método de Euler.