2026-08-10 ModMat - Introducción al modelado

Introducción al modelado matemático

Pregunta central

¿Qué significa modelar un fenómeno y cómo se transforma un modelo matemático en un experimento computacional?

¿Qué es modelar?

Modelar consiste en abstraer un fenómeno real mediante una representación matemática que pueda analizarse o resolverse con ayuda de una simulación y compararse posteriormente con la realidad.

flowchart LR
    A["Fenómeno real"] --> B["Modelo matemático"]
    B --> C["Simulación"]
    C --> D["Comparación y validación"]
    D --> A

Important

Un modelo conserva lo importante para una pregunta concreta y descarta los detalles que no son esenciales para responderla.

Partes de un modelo

• Variables: magnitudes que cambian o se calculan, por ejemplo $P(t)$.
• Parámetros: cantidades que caracterizan el fenómeno, por ejemplo $r$ o $K$.
• Relaciones: reglas que conectan variables y parámetros, por ejemplo:

$$\frac{dP}{dt}=rP.$$

Una misma cantidad puede funcionar como variable o parámetro según la escala y la pregunta del problema.

Supuestos: el corazón del modelo

Un supuesto es una decisión explícita acerca de qué se considera válido dentro del modelo. Ejemplos:

• La población tiene recursos ilimitados.
• La temperatura ambiente se mantiene constante.
• La tasa de contacto entre individuos es homogénea.
• El error de medición es pequeño.

Note

Un modelo no se evalúa simplemente por ser “verdadero”, sino por ser útil para una pregunta y suficientemente consistente con los datos disponibles.

Del modelo al experimento computacional

El proceso puede distinguirse en tres niveles:

1. Modelo matemático: ecuaciones, variables, parámetros y supuestos.
2. Algoritmo: procedimiento para aproximar, simular o evaluar el modelo.
3. Ejecución computacional: tamaño del problema, tiempo de cómputo, memoria y paralelismo.

Resolver una ecuación logística una vez es barato. Resolverla para miles de combinaciones de $r$, $K$ y $P_0$ se aproxima a un experimento computacional y puede justificar el uso de HPC.

Conceptos extraídos

• Modelo matemático
• Variable y parámetro de un modelo
• Supuesto de modelación
• Experimento computacional

Dudas

• Precisar los criterios de validación que se usarán en el curso.
• Identificar los benchmarks y recursos de HPC disponibles.

Resumen después de clase

Un modelo es una abstracción orientada a una pregunta, no una reproducción total de la realidad. Su utilidad depende de variables, parámetros, relaciones y supuestos explícitos. Para estudiar el modelo computacionalmente es necesario traducirlo a un algoritmo y considerar el costo de ejecución. La cantidad de escenarios, parámetros o datos puede convertir una simulación sencilla en un experimento que requiera HPC.